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記事No.28219に関するスレッドです
★ (No Subject) / じゃい
この問題を教えてください。
No.28219 - 2014/08/13(Wed) 09:40:48
☆ Re: / X
(i)
条件からC[1],C[2]の交点のx座標について
a[1]x^2+b[1]x=a[2]x^2+b[2]x
これより
{(a[1]-a[2])x+(b[1]-b[2])}x=0
∴x=0,(b[2]-b[1])/(a[1]-a[2])
よってC[1],C[2]の交点の一つが点(0,0)
であることに注意すると
p=(b[2]-b[1])/(a[1]-a[2])
と置くとき
m={a[1]p^2+b[1]p}/p=a[1]p+b[1]
=a[1](b[2]-b[1])/(a[1]-a[2])+b[1]
=(a[1]b[2]-a[2]b[1])/(a[1]-a[2])

(ii)
a[1]a[2]＜0
により
(i)a[1]＞0のとき
S[1]=∫[0→p]{mx-a[1]x^2-b[1]x}dx (A)
S[2]=∫[0→p]{a[2]x^2+b[2]x-mx}dx (B)
これより
S[1]=-(1/3)a[1]p^3+(1/2)(m-b[1])p^2 (A)'
ここでpはC[1]とlとの交点のx座標ゆえ
a[1]p^2+b[1]p=mp
p≠0に注意すると
m=a[1]p+b[1]
これを(A)'に代入して
S[1]=(1/6)a[1]p^3 (A)"
同様に(B)から
S[2]=-(1/6)a[2]p^3 (B)'
∴S[2]/S[1]=-a[2]/a[1]
(ii)a[1]＜0のとき
S[1]=∫[0→p]{a[1]x^2+b[1]x-mx}dx
S[2]=∫[0→p]{mx-a[2]x^2-b[2]x}dx
となるが(i)の場合と同様な計算により
S[2]/S[1]=-a[2]/a[1]

以上から
S[2]/S[1]=-a[2]/a[1]

(iii)
(i)(ii)の結果から
(a[1]b[2]-a[2]b[1])/(a[1]-a[2])=1 (C)
-a[2]/a[1]=1 (D)
(D)より
a[2]=-a[1] (D)'
これを(C)に代入して整理すると
b[1]+b[2]=2 (E)
∴求める条件は(D)'かつ(E)となります。
No.28222 - 2014/08/13(Wed) 10:17:46