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記事No.28220に関するスレッドです
★ (No Subject) / じゃい
この問題を教えてください。
よろしくお願いします。
No.28220 - 2014/08/13(Wed) 09:41:23
☆ Re: / X
(i)
x^2-y^2=p
より
(x+y)(x-y)=p
ここでx,yは自然数ゆえ
x+y>0
x+y＞x-y
∴ｐが素数であることから
x+y=p (A)
x-y=1 (B)
(A)(B)を連立して解き
(x,y)=((p+1)/2,(p-1)/2)

(ii)
x^3-y^3=p
より
(x-y)(x^2+xy+y^2)=p (C)
ここでx,yは自然数ゆえ
x^2+xy+y^2＞0 (D)
∴(C)より
x-y＞0 (E)
また
x^2+xy+y^2-(x-y)=(x-1/2)^2+(y-1/2)^2+(xy-1/2)＞0
により
x^2+xy+y^2＞x-y (F)
(C)(D)(E)(F)より
x-y=1 (G)
x^2+xy+y^2=p (H)
(G)より
y=x-1 (G)'
これを(H)に代入して
x^2+x(x-1)+(x-1)^2=p
∴p=3x^2-3x+1=3x(x-1)+1 (I)
ここでx,yが自然数であることと(G)'により
x(x-1)は偶数
よって命題は成立します。

(iii)
(G)'よりxは2以上の自然数であることに注意して
(I)にx=2,3,…を代入してpが素数となるものを
小さい順に実際に並べていきます。
f(x)=3x(x-1)+1
と置くと
f(2)=7
f(3)=19
f(4)=37
f(5)=61
f(6)=91(=13×7ゆえ素数ではありません)
f(7)=127
ということで
p[5]=127
No.28229 - 2014/08/13(Wed) 11:05:01
☆ Re: / ☆ミ
(1)
(x＋y)(x-y)＝P
Pは1と自分自身しか約数をもたないので
x-y＝1
x＋y＝P
よってx＝(P＋1)/2, y＝(P-1)/2

(2)
(x-y)(x^2＋xy＋y^2)＝P
同様にx-y＝1
x^2＋xy＋y^2＝P
代入すると
3y^2＋3y＋1＝P
3y^2＋3y＝P-1は偶数なので6の倍数である
よってPを6で割った余りは1である

(3)
P＝3y^2＋3y＋1, x＝y＋1なので
y＝1, 2, 3, …で
x＝2, 3, 4, …となる
Pはyが小さいほど小さいが
y＝5のときでP＝91＝13×7で素数ではないので
P_5はy＝6のときでP＝127

一部訂正しましたm(__)m
No.28230 - 2014/08/13(Wed) 11:08:37