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解答を教えてください。どうぞよろしくお願いします。
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No.28235 - 2014/08/13(Wed) 14:04:49
| ☆ Re: / X | | | (1)
条件から点Pを通り↑OPに垂直な平面の方程式は
l(x-l)+m(y-m)+n(z-n)=0 (A)
(A)が点(a,0,0),(0,b,0),(0,0,c)を通るので
l(a-l)-m^2-n^2=0 (B)
m(b-m)-l^2-n^2=0 (C)
n(c-n)-l^2-m^2=0 (D)
更に点Pは円
x^2+y^2+z^2=1
上の点ゆえ
l^2+m^2+n^2=1 (E)
(B)(C)(D)(E)より
(a,b,c)=(1/l,1/m,1/n) (F)
一方、△ABCを底面と見たときの四面体OABCの高さを
hとすると点と平面との間の距離の公式により
h=|l^2+m^2+n^2|/√(l^2+m^2+n^2)=1 (G)
更に四面体OABCの体積について
(1/3)(1/2)abc=(1/3)Sh (H)
(F)(G)(H)により
S=1/(2lmn) (I)
(2)
n=1/2を(E)(I)に代入すると
l^2+m^2=3/4 (E)'
S=1/lm (I)'
(E)'とl＞0,m＞0により
l={(√3)/2}cosθ
m={(√3)/2}sinθ
(0＜θ＜π/2 (J))
と置くことができるので(I)'は
S=8/(3sin2θ)
(J)より
0＜2θ＜π
∴Sの最小値は8/3
(このときl=m=(1/4)√6)
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No.28242 - 2014/08/13(Wed) 19:23:29 |
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