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記事No.28609に関するスレッドです
★ 図形と計量 / いなほ
高校３年の者です。

数研出版の「スタンダード数学演習?TＡ?UＢ」というテキストの210番の問題です。

問）底面が１辺の長さ１の正方形、頂点Ｏから底面の各頂点までの長さが1/2（√5＋1）の正四角錐ＯーＡＢＣＤがある。この四角錐に頂点Ａから辺ＯＢ、ＯＣ上の点Ｐ，Ｑを通って頂点Ｄまでの最小の長さになるように糸を巻き付ける。
（１）?凾nＡＢと?凾`ＢＰが相似であることを示せ。

展開図をかき、ＡＤを直線で結ぶと糸が最小になるということはわかりましたが、学校での解説ではＡＤとＢＣが平行であることが暗黙の了解とされていました。が、なぜＡＤとＢＣが平行であるという条件を黙って使っていいのでしょうか？
No.28607 - 2014/08/28(Thu) 20:22:38
☆ Re: 図形と計量 / ヨッシー
四角形ＡＢＣＤが正方形だからでしょう。
No.28608 - 2014/08/28(Thu) 22:00:18
☆ Re: 図形と計量 / IT
展開図（下図）で「底面ABCDの辺AD」でない方（側面側）のADの話ですね？

ＡＤとＢＣが平行であることは図から明らかですが、証明するには数行が必要です。それを証明することは、この問題の本質部分ではないと、その先生は判断したからだと思います。

しかし、?凾nＡＢと?凾`ＢＰが相似であることを示す問題ですから、ＡＤとＢＣが平行であることを暗黙の了解として使うのではなく、
∠APB=∠ABPなどを示す方が良い気がします。
No.28609 - 2014/08/28(Thu) 22:08:50
☆ Re: 図形と計量 / IT
略証
△ＯＡＤは二等辺三角形なので∠ＯＡＤ=∠ＯＤＡ
２角と挟辺が等しいので　△ＯＡＰ≡△ＯＤＱ
よって∠ＯＰＱ＝∠ＯＱＰ
よって△ＯＰＱは二等辺三角形で△ＯＢＣと相似
∠ＯＰＱ＝∠ＯＢＣ＝∠ＯＡＢ
∠ＡＰＢ＝∠ＯＰＱ＝∠ＯＡＢ
また∠ＡＢＰ＝∠ＯＢＡ（共通）
よって△ＡＢＰと△ＯＡＢは相似
No.28613 - 2014/08/29(Fri) 09:32:49