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記事No.28742に関するスレッドです
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極限の問題
/ aqwe
引用
画像見づらくてすいません。
問題文は
lim[x→a]1/(x-a){(x^n-a^n)/(x-a)-na^(n-1)}
問題集に答えが載っていなくて分からないので
質問しました。よろしくお願いします。
No.28742 - 2014/09/05(Fri) 08:33:11
☆
Re: 極限の問題
/ X
引用
x-a=hと置くと
(与式)=lim[h→0]{{(a+h)^n-a^n}/h-na^(n-1)}/h
=lim[h→0]{Σ[k=0〜n-1]{(a+h)^k}a^(n-1-k)-na^(n-1)}/h
∴f(x)=Σ[k=0〜n-1](x^k)a^(n-1-k)
と置くと
(与式)=f'(a)=Σ[k=0〜n-1]ka^(n-2)
=(1/2)n(n-1)a^(n-2)
No.28748 - 2014/09/05(Fri) 12:10:37
☆
Re: 極限の問題
/ angel
引用
テイラー展開
f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+1/2・f''(a)(x-a)^2+1/3!・f'''(a)(x-a)^3+…
を知っていれば、
( f(x)-f(a) ) - f'(a)(x-a) = 1/2・f''(a)(x-a)^2+1/3!・f'''(a)(x-a)^3+…
ですから、両辺を (x-a)^2 で割った
1/(x-a)・( (f(x)-f(a))/(x-a) - f'(a) ) = 1/2・f''(a) + 1/3!・f'''(a)(x-a)+…
から、
lim[x→a] 1/(x-a)・( (f(x)-f(a))/(x-a) - f'(a) ) = 1/2・f''(a)
と答えの見当がつきます。
※今回の問題は、f(x)=x^n のケース
なお、もしこれを解答で使うなら、テイラー展開ではなく「平均値の定理」から説明すべきでしょうけど。
No.28749 - 2014/09/05(Fri) 13:00:42
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Re: 極限の問題
/ aqwe
引用
ありがとうございます。よく分かりました!
No.28755 - 2014/09/05(Fri) 18:03:03
