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記事No.28776に関するスレッドです
★ (No Subject) / ヒキニート
xy平面上にθを媒介変数とする曲線
C1:x=4cosθ 、 y=2sinθ (-π/2≦θ≦π/2)
とtを媒介変数とする曲線
C2:x=1/2(t+1/t) 、 y=1/2(t-1/t) (t>0)
がある。

(1)C2上の点(x,y)が満たす方程式を求めよ。また、xのとりうる値の範囲を求めよ。
(2)C1とC2の交点の座標を求めよ。また、交点に対応するtの値も求めよ。
(3)C1とC2によってかこまれる部分の面積Sを求めよ。
No.28773 - 2014/09/07(Sun) 23:14:57
☆ Re: / ヨッシー
(1)
cosθ＝x/4, sinθ＝y/2 より
　(x/4)^2＋(y/2)^2＝1
　x^2/16＋y^2/4＝1　　(i)
-π/2≦θ≦π/2 より
　0≦ｘ≦4

(2)
　x=(1/2)(t+1/t) 、 y=(1/2)(t-1/t)
であるとします。
両辺２倍して２乗して
　4x^2＝t^2＋1/t^2＋２, 4y^2＝t^2＋1/t^2−２
よって、
　4x^2−２＝4y^2＋２
　x^2−y^2＝1　 ・・・　(ii)
ただし、相加相乗平均より　t+1/t≧2 (等号は t=1 の時) なので、
　x≧1　（つまり双曲線の右半分）
Ｃ1, Ｃ2 の交点を求めるには、x=4cosθ, y=2sinθ を (ii) に代入して、
　16cos^2θ−4sin^2θ＝1
　16cos^2θ−4(1−cos^2θ)＝1
　20cos^2θ＝5
　cos^2θ＝1/4
0≦ｘ≦4 より cosθ＝1/2, このときθ＝−π/3, π/3
交点の座標は (2, ±√3)
これに対応するｔの値は、t＋1/t＝4 より
　t^2−4t＋1＝０
　ｔ＝2±√3　・・・答え
(3)
Ｃ1, Ｃ2 に囲まれた部分の面積Ｓは、図の通りなので、
　x^2/16＋y^2/4＝1 より y＝√(4−x^2/4)　　　(楕円の上半分)
　x^2−y^2＝1 より y＝√(x^2−1)　（双曲線の上半分）
より、
　Ｓ＝２∫[1〜2]√(x^2−1)dx＋２∫[2〜4]√(4−x^2/4)dx
Ｔ＝∫[1〜2]√(x^2−1)dx , Ｕ＝∫[2〜4]√(4−x^2/4)dx とすると、
Ｔにおいて、ｘ＝cosh(t)＝(e^t＋e^(-t))/2 とおくと、
　1≦ｘ≦2 は、0≦t≦log(2＋√3) に対応し
　√(x^2−1)＝√{(e^t−e^(-t))/2}^2＝(e^t−e^(-t))/2
dx/dt＝(e^t−e^(-t))/2 より、dx＝(e^t−e^(-t))dt/2
　Ｔ＝∫[0〜log(2＋√3)]{e^2t＋e^(-2t)−2}dt/4
　　＝[(1/2)e^2t−(1/2)e^(-2t)−2t][0〜log(2＋√3)]／４
　　＝{(1/2)(2＋√3)^2−(1/2)(2＋√3)^(-2)−2log(2＋√3)−1/2＋1/2}／４
　　＝{(1/2)(7＋4√3)−(1/2)／(7＋4√3)−log(7＋4√3)}／４
　　＝{(1/2)(7＋4√3)−(1/2)(7−4√3)−log(7＋4√3)}／４
　　＝(4√3−log(7＋4√3))/4
　　＝√3−(1/4)log(7＋4√3)

Ｕにおいて、
Ｕ＝(1/2)∫[2〜4]√(16−x^2)dx とおき、ｘ＝4sin(t) とおくと、
2≦ｘ≦4 は π/6≦t≦π/2 に対応し
√(16−x^2)＝4cos(t)　dx/dt＝4cos(t)　より
　Ｕ＝(1/2)∫[π/6〜π/2]16cos^2(t)dt
　　＝2∫[π/6〜π/2](2cos(2t)＋2)dt
　　＝２[sin(2t)＋2t][π/6〜π/2]
　　＝２{π−√3/2−π/3]
　　＝4π/3−√3
以上より
　Ｓ＝２(Ｔ＋Ｕ)＝8π/3−(1/2)log(7＋4√3)
No.28776 - 2014/09/08(Mon) 16:32:58