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記事No.28781に関するスレッドです
★ 3次関数の最大・最小です / 尾木ママ
aを定数とする。3次関数f(x)＝x^3-2ax^2＋a^2xの0≦x≦1における最大値M(a)を求めよという問題です。

まずxがa/3とaであることを求め、a/3となるf(x)の4(a^3)/27が他にもあることから

x^3-2ax^2＋a^2x-4(a^3)/27をして、aの値が4(a)/3があるという部分までは良いのですが、ここから先が解りません。

1<a/3　よってM(a)＝f(1)

a/3≦1≦4(a)/3 よってM(a)＝f(a/3)

0<4/3a<1 よってM(a)＝f(1)

という三つのMが出るのですが、このMの値はどういう計算をしてそれぞれ1とa/3を出したのかよく分かりません。その計算方法を教えてください。
No.28780 - 2014/09/09(Tue) 18:31:39
☆ Re: 3次関数の最大・最小です / ヨッシー
まず、y=f(x) がどういう形かを調べないといけません。
f(x)＝x(x-a)^2 ですから、y=f(x) のグラフは、
　原点を通る、　ｘ＝ａでｘ軸に接する
と分かります。ａの正負によって、図のように２通り考えられますが、
ａ≦０ の場合は、０≦ｘ≦１ において、単調増加なので、
最大値は f(1) になります。
ａ＞０ の場合、極大値の f(a/3) を範囲に含むか、また、極大値より大きい値が存在するかによって、
右の図の矢印で示した３通りの範囲設定が考えられます。
１＜ａ／３ つまり　３＜ａ のとき
　極大値を範囲に含まないので、f(1) が最大値。
ａ／３＜１＜ｂ　（ｂはf(x)が極大値と一致する、x=a/3 以外の値）のとき
　極大値が最大値となります。
ｂ≦１　のとき
　f(1) が極大値より大きいので、f(1) が最大値となります。
No.28781 - 2014/09/09(Tue) 18:53:41
☆ Re: 3次関数の最大・最小です / 尾木ママ
この問題の応えは0<a3/4,3<aの時　
M(a)＝a^2-2a＋1

3/4≦a≦3のとき
M(a)＝4(a^3)/27

という二つの回答があり、Mの算出時の不等号の式も解説のものと大きく異なっているのでこの解説には誤りがある気がします。
あと、Mの値を計算によって算出する方法が知りたい、という質問なので例えば1<a/3、つまりa>3の場合にfが1になるという過程の計算式を知りたい、という質問です。
No.28782 - 2014/09/09(Tue) 19:43:50
☆ Re: 3次関数の最大・最小です / 尾木ママ
訂正
> この問題の応えは0<a<3/4,3<aの時　
> M(a)＝a^2-2a＋1
No.28783 - 2014/09/09(Tue) 19:47:44
☆ Re: 3次関数の最大・最小です / angel
> この解説には誤りがある気がします。
勝手に決めつけるの、良くナイ。
ヨッシーさんの解説で合っています。

なお、ヨッシーさんは a≦0 の場合も考慮されていますが、尾木ママさんの挙げた答えにないことから、問題の前提として「a＞0」があるのでは。問題の条件は正確に。

> Mの値を計算によって算出する方法が知りたい
それは尾木ママさんが答えの導き方を誤解しているのでしょう。
> 例えば1＜a/3、つまりa＞3の場合にfが1になるという過程の計算式
解答を書く上では、如何にも 1＜a/3 を出発点にして、そこから 1 という数字が導かれ、M=f(1) と計算しているかのようにするかもしれませんが、実際にそう考えて解く訳ではありません。解けません。

道筋としては、
・最大値は、極大値もしくはf(1)のどちらかである
・f(1)が最大値になるとしたら〜という状況である
・その状況の一つが 1＜a/3 である
という順序になっていて、それを踏まえた上でヨッシーさんは
> まず、y=f(x) がどういう形かを調べないといけません。
と切り出したわけです。

…取り敢えず、失礼な態度だと思いますよ、と釘を刺しておきます。
No.28786 - 2014/09/09(Tue) 22:38:24
☆ Re: 3次関数の最大・最小です / 尾木ママ
ヨッシーさんがかかれたものが解説の式とかなり異なっていたので解りませんでした。
よくよく見直すとヨッシーさんのかかれた式で理解できました。申し訳ありませんでした。
No.28787 - 2014/09/09(Tue) 23:00:47