[ 掲示板に戻る ]
記事No.28903に関するスレッドです
★ (No Subject) / プリンセスプリンセス
正の数s,tに対して,xの４次方程式
　　　　(A)x^4-2(s+t-1)x^2+2st+1=0
を考える.
(1)方程式(A)が異なる４つの実数解をもつためのs,tの条件を求め,その条件を満たす点(s,t)の領域を図示せよ.
(2)1/2≦t≦2であるすべてのtに対して,方程式(A)が異なる４つの実数解をもつためのsの範囲を求めよ.
(3)1/2≦t≦2である少なくとも１つのtに対して,方程式(A)が異なる４つの実数解をもつためのsの範囲を求めよ.

お願いします。
No.28867 - 2014/09/13(Sat) 20:51:22
☆ Re: / angel
とりあえず(1)が片付かないことには先も無いので。

4次方程式 x^4+ax^2+b=0 の形になっていますが、これを x^2 (=tとでも置いて) の2次方程式 t=x^2, t^2+at+b=0 と見れば、
tの解をα,βとした時、x=±√α,±√β と表せることになります。

ただし、「異なる4つの実数解」であるため、
・α＞0 かつ β＞0
・そもそも t が異なる2実数解を持つ
という条件を考えることになります。

で、まあ、2次方程式の解の問題として、2次関数のグラフなり「解と係数の関係」なりで考えることになりますが、後者で考えると、

　・判別式 D=a^2-4b＞0
　・解の和 α+β=-a＞0
　・解の積 αβ=b＞0

が必要十分。

今回の問題に立ち返って、a=-2(s+t-1), b=2st+1 のケースに該当する訳なので、

　D/4=(s+t-1)^2-(2st+1)＞0
　s+t-1＞0
　2st+1＞0

これらの条件を整理しましょう。
　
No.28890 - 2014/09/14(Sun) 16:35:56
☆ Re: / プリンセスプリンセス
あいがとうございます
理解しました

（２）以降はどのようにすればよいのでしょうか？
No.28892 - 2014/09/14(Sun) 17:07:32
☆ Re: / angel
取り敢えずグラフを描いて考えます。
添付の図の、左端が(1)の答えです。( 各境界は全て含まず )
なので、今後「異なる4つの実数解を持つ」は、(s,t)がグラフの該当の範囲に含まれることとみなすことができます。もう、元の問題が4次方程式だったとか、そういったことは忘れて構いません。

で、左から2番目の図は、さらに 1/2≦t≦2 の範囲に絞り込んだものです。
そうした場合、(2)は左から3番目のsの範囲、(3)は右端のsの範囲が答えになります。
なぜ違いが出るのかは、「全てのt」「少なくとも1つのt」の違いから来ていますので、良く考えてください。

なお、答えは
　(2) s＞1+√2
　(3) (1-√3)/2＜s＜0, s＞2
です。
No.28903 - 2014/09/15(Mon) 09:18:56