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記事No.29016に関するスレッドです
★ (No Subject) / プリンセスプリンセス
0≦x<1において,関数f(x)を
　　f(x)=??<0→x>1/√(1-t^2)dt
と定める.
(1)曲線C:y=f(x)のx=1/2における接線Lの方程式を求めよ.
(2)(1)のCとLとx軸で囲まれる図形の面積を求めよ.

お願いします
No.28999 - 2014/09/24(Wed) 23:44:18
☆ Re: / angel
f(x)はsinの逆関数になるのですが、それはよろしいでしょうか?
つまり、f(x)=arcsin(x)
※arcsinって習ってないなら ( 高校の範囲外の用語かもしれないので ) sin^(-1)(x) で。

逆関数の微分 sin(y)=x → y'・cos(y) = 1 から、
y'=1/cos(y) = 1/√(1-sin(y)^2) = 1/√(1-x^2)
というのがあるのですが、それを思いつかなくても、t=sinxの置換積分と f(0)=0 ( ∫[0,x] の形だから ) より、f(x)=arcsin(x) と分かります。

なので、
(1)
　接線との接点は (1/2,π/6)
　また、f'(x)=1/√(1-x^2) ( 丁度∫を取って t を x に置き換えただけの形 ) なのですから、傾きも計算できます。

(2)
　逆関数のグラフなので、x,yを入れ替える ( グラフ上では、y=x に線対称に反転させる ) と、y=sinx のカーブの上側の面積を求めるのと同じことになります。
　なので、台形の面積から、sinの積分による結果を引けば答えとなります。
No.29016 - 2014/09/25(Thu) 21:37:26