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記事No.29175に関するスレッドです
★ 微分方程式 / はるか
問題は添付の通りです。

与式:y"+by'+cy=0…[1]から
y=3sin(2x)y'=6cos(2x)より,y"=-12sin(2x)+6bcos(2x)+3csin(2x)=0でb=0,c=4を得る。
よって, y"-4y'=0…[2].

(a)に関しては,y=sin(-2x)からy'=-2cos(-2x)とy"=-4sin(-2x)を得る.。
これらを[2]に代入して, -4sin(-2x)+8cos(-2x)=8sinxcosx+8cos2x-8sin2x≠0.
故に,y=sin(-2x)は[1]の解ではない。　　∴ FALSE.

(b)に関しては, y=cos(-2x)からy'=2sin(-2x)とy"=-4cos(-2x)を得る。
これらを[2]に代入すると【2】, -4cos(-2x)-8sin(-2x)
=-4(cos2(-x)-sin2(-x))-8(sin(-x)cos(-x)+cos(-x)sin(-x))=-4cos2x+4sin2x+16sinxcosx≠0.
故にy=cos(-2x)は[1]の解ではない。 ∴ FALSE.

(c)に関しては, y=2cos(2x)+Cからy'=-4cos(2x)とy"=8sin(2x)を得る。
これらを[2]に代入して,8sin(2x)+16cos(2x)=8sinxcosx+16cos2x-16sin2x≠0.
従って,y=cos(-2x)は[1]の解ではない ∴ FALSE.

(d)に関しては, これは2階同次線形微分方程式なのでλ^2-4λ=0を解いて, λ=0,4.
よって,y=C_1e^{0x}+C_2e^{4x}=C_2e^{4x}≠C_1e^{0x}cos(2x)+C_2e^{4x}sin(2x)なので
これは[1]の解ではない。 ∴ FALSE.

で正しいでしょうか?

ところで
(e)がよく見えないのですが>0の左辺は何だと思われますでしょうか?
No.29175 - 2014/10/05(Sun) 03:31:03
☆ Re: 微分方程式 / angel
残念ながら、
> y"=-12sin(2x)+6bcos(2x)+3csin(2x)=0でb=0,c=4を得る。
の次の、
> よって, y"-4y'=0…[2].
で間違えてますから、計算のやり直しですね。

まあ、計算しなくても y"+α^2・y=0 の解が y=Asin(αx)+Bcos(αx) であることを知っていれば、答えは自明で、
(a),(b),(e)がTRUEとなる訳ですが。
※sin(-2x)=-sin(2x), cos(-2x)=cos(2x) であることに注意

知らなくても、(a),(c),(d) の答えは trivial ですね。
おっと。(b)もそうですね。( 後から追加 )

ああ、言い忘れていました。恐らく(e) は“c＞0”でしょう。
No.29189 - 2014/10/05(Sun) 11:33:11
☆ 補足 / angel
何でtrivialか言っていなかったので補足します。

(a)
　y=3sin(2x) が解と言うことは、係数を取り去った y=sin(2x) が解と言うことです。
　であれば、y=sin(-2x)=-sin(2x) も ( 既知の解の定数倍なので ) 解となります。

(b)
　y1(x)=sin(2x), y2(x)=cos(-2x)=cos(2x) とすると、
　y2(x)=y1(x-π/4) と、x方向のズレを除けば同一の関数です。
　なので、y2"(x)=y1"(x-π/4), y2'(x)=y1'(x-π/4) と、導関数も同じようなことになり、y=y2(x) つまり y=cos(-2x) もやはり微分方程式の解になります。

(c)
　y2=y1+C とすると、y2"=y1", y2'=y1'
　　y1"+by1'+cy1=0
　　y2"+by2'+cy2=0
　この2式を見比べれば、C=0 しかありえません。

(d)
　問題にある the form に、実際の解 y=3sin(2x) が既にマッチしていません
No.29208 - 2014/10/05(Sun) 19:02:49