添付問題について、質問があります。
まず⑵について
じぶんでといた方法も添付しました。
最小値≧０を示そうと思いましたが記載のところまでしかできませんでした…
ここからどうしたら良いか教えてください。
また、⑶について
ｍ＝nのときと
ｍ≠nときで場合わけをすると聞きました。
しかし、その場合わけの発想がどこからでて来るのかがわかりません。
どうかんがえたらよいか教えてください。
宜しくお願いします。
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No.29574 - 2014/11/12(Wed) 17:37:37
| ☆ Re: 整数問題 / deep make | | | (3)について,
>場合分けの発想がどこからでて来るのかがわかりません
m^3+n^3＝(m+n)(m^2-mn+n^2) と書けることと,
(2)で, m＞n に対し, m^2-mn+n^2≧m+n が成り立つことを示していることから,
m=n, m≠n と分けて考えたのだと思います.
m=n のとき, m^3+n^3＝2m^3＝p^3 より, p=2 だが,
m^3＝4 を満たす自然数 m は存在しません.
m≠n のとき, 対称性から, m＞n としてよい. このとき,
m^3+n^3＝(m+n)(m^2-mn+n^2)＝p^3,
m+n＞1, m^2-mn+n^2≧m+n＞1 より,
m+n＝p, m^2-mn+n^2＝p^2 になります.
ここで,
m^2-mn+n^2＝(m+n)(m-2n)+3n^2 より,
3n^2 が p の倍数であることが分かり, p=3, m=2, n=1 となります.
しかし, このとき m^2-mn+n^2=p≠p^2 なので,
m^3＋n^3＝p^3 を満たす自然数m, nは存在しないことが分かります.
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No.29580 - 2014/11/12(Wed) 18:35:24 |
| ☆ Re: 整数問題 / deep make | | | 示したいことは, 自然数 m, n (m>n) に対し,
m^2-mn+n^2≧m+n が成り立つことなので,
f(m)＝m^2-mn+n^2-(m+n) と置くとき, 仮定の下で, f(m)≧0 となることを示せばよい.
f(m)＝(m-(n+1)/2)^2-(n+1)^2/4+(n^2-n) より,
仮定から, m＝n+1 で最小値をとる. (つまり, f(m)≧f(n+1)ということ)
ここで, f(n+1)＝n(n-1) は, n≧1 において, f(n+1)≧0 を満たすので,
自然数 m, n (m>n) に対し, f(m)≧0 が成り立つ.
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No.29589 - 2014/11/13(Thu) 13:46:05 |
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