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記事No.29777に関するスレッドです
★
(No Subject)
/ すずき
引用
添付の問題について質問があります。
No.29777 - 2014/12/06(Sat) 20:56:39
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Re:
/ すずき
引用
ちょっと長くて見にくいかもしれず申しわけないののですが、以下のように解きました。
No.29778 - 2014/12/06(Sat) 20:57:50
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Re:
/ すずき
引用
続きです
No.29779 - 2014/12/06(Sat) 20:58:37
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Re:
/ すずき
引用
ＰとＱの座標が、何度見直しても正答と異なり、困っています｡入試問題を解いているので、自分の回答に細かく赤が欲しいです。
どうか御指摘いただけませんか、お願いします！
No.29780 - 2014/12/06(Sat) 21:01:51
☆
Re:
/ ヨッシー
引用
解答が見辛く添削できないので、私なりの解答を載せますので、比較してみてください。
(1)
y'＝x/2 より
Ａにおける接線の傾き a/2 と
Ｂにおける接線の傾き b/2 との積が−１となるので、
ab/4＝-1
ｂ＝−４／ａ ・・・ 答
(2)
Ａにおける接線の式は
ｙ＝(a/2)(x-a)＋a^2/4
ｙ＝ax/2−a^2/4
Ｂにおける接線の式は
ｙ＝bx/2−b^2/4
ｙ＝-2x/a−4/a^2
両者連立させてｘを求めると
ax/2−a^2/4＝-2x/a−4/a^2
(a/2+2/a)x＋(4/a^2−a^2/4)＝０
(a/2+2/a)x＋(2/a＋a/2)(2/a−a/2)＝０
a/2＋2/a＞0 より
ｘ＝a/2−2/a
ｙ＝ax/2−a^2/4 に代入して、
ｙ＝a^2/4−1−a^2/4＝−１
よって、Ｐの座標は (a/2−2/a, −1)
Ａにおける法線の式は
ｙ＝(-2/a)(x-a)＋a^2/4
ｙ＝-2x/a＋2＋a^2/4
Ｂにおける接線の式は
ｙ＝-2x/b＋2＋b^2/4
ｙ＝ax/2＋2＋4/a^2
両者連立させてｘを求めると
-2x/a＋2＋a^2/4＝ax/2＋2＋4/a^2
(a/2＋2/a)x＝a^2/4−4/a^2
a/2+2/a＞0 より
ｘ＝a/2−2/a
ｙ＝ax/2＋2＋4/a^2 に代入して
ｙ＝a^2/4−1＋2＋4/a^2＝a^2/4＋4/a^2＋1
よって、Ｑの座標は (a/2−2/a, a^2/4＋4/a^2＋1)
(3)
Ａ(a,a^2/4)
Ｐ(a/2−2/a, −1)
Ｑ(a/2−2/a, a^2/4＋4/a^2＋1)
において、
ＡＰ^2＝(a/2＋2/a)^2＋(a^2/4＋1)^2
＝a^2/4＋4/a^2＋2＋a^4/16＋a^2/2＋1
＝a^4/16＋3a^2/4＋4/a^2＋3
ＡＱ^2＝(a/2＋2/a)^2＋(4/a^2＋1)^2
＝a^2/4＋4/a^2＋2＋16/a^4＋8/a^2＋1
＝16/a^4＋12/a^2＋a^2/4＋3
長方形ＡＱＢＰの面積をＳとすると
Ｓ^2＝(a^4/16＋3a^2/4＋4/a^2＋3)(16/a^4＋12/a^2＋a^2/4＋3)
＝1＋3a^2/4＋a^6/64＋3a^4/16＋12/a^2＋9＋3a^4/16＋9a^2/4
＋64/a^6＋48/a^4＋1＋12/a^2＋48/a^4＋36/a^2＋3a^2/4＋9
＝a^6/64＋3a^4/8＋15a^2/4＋20＋60/a^2＋96/a^4＋64/a^6
ここで、Ａ＝a^2/4＋4/a^2 とおくと
Ａ^2＝a^4/16＋16/a^4＋2
Ａ^3＝a^6/64＋a^2/4＋4/a^2＋64/a^6＋a^2/2＋8/a^2
＝a^6/64＋3a^2/4＋12/a^2＋64/a^6
より、
Ｓ^2＝(a^6/64＋3a^2/4＋12/a^2＋64/a^6)＋6(a^4/16＋16/a^4＋2)＋12(a^2/4＋4/a^2)＋8
＝Ａ^3＋6Ａ^2＋12Ａ＋8
＝(Ａ＋２)^3
Ａ＞０ なので、Ａ＋２ が最小のとき、Ｓ^2 は最小になり、Ｓ（＞０）も最小になります。
a^2/4＞0, 4/a^2＞0 なので、相加相乗平均より
Ａ＝a^2/4＋4/a^2≧2√{(a^2/4)(4/a^2)}＝２
等号成立は
a^2/4＝4/a^2
a^4＝16
ａ＞０ より ａ＝２
このとき、Ａ＝２，Ｓ^2＝４^3＝64，Ｓ＝８
答え ａ＝２ のとき、長方形ＡＱＢＰの面積は最小値 ８ をとります。
No.29792 - 2014/12/08(Mon) 14:19:16
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Re:
/ すずき
引用
とってもご丁寧に感動です。
いま確認しております。
No.29795 - 2014/12/08(Mon) 21:14:24
