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記事No.29779に関するスレッドです

(No Subject) / すずき
添付の問題について質問があります。
No.29777 - 2014/12/06(Sat) 20:56:39

Re: / すずき
ちょっと長くて見にくいかもしれず申しわけないののですが、以下のように解きました。
No.29778 - 2014/12/06(Sat) 20:57:50

Re: / すずき
続きです
No.29779 - 2014/12/06(Sat) 20:58:37

Re: / すずき
PとQの座標が、何度見直しても正答と異なり、困っています。入試問題を解いているので、自分の回答に細かく赤が欲しいです。
どうか御指摘いただけませんか、お願いします!

No.29780 - 2014/12/06(Sat) 21:01:51

Re: / ヨッシー
解答が見辛く添削できないので、私なりの解答を載せますので、比較してみてください。

(1)
 y'=x/2 より
Aにおける接線の傾き a/2 と
Bにおける接線の傾き b/2 との積が−1となるので、
 ab/4=-1
 b=−4/a ・・・ 答

(2)
Aにおける接線の式は
 y=(a/2)(x-a)+a^2/4
 y=ax/2−a^2/4
Bにおける接線の式は
 y=bx/2−b^2/4
 y=-2x/a−4/a^2
両者連立させてxを求めると
 ax/2−a^2/4=-2x/a−4/a^2
 (a/2+2/a)x+(4/a^2−a^2/4)=0
 (a/2+2/a)x+(2/a+a/2)(2/a−a/2)=0
a/2+2/a>0 より
 x=a/2−2/a
y=ax/2−a^2/4 に代入して、
 y=a^2/4−1−a^2/4=−1
よって、Pの座標は (a/2−2/a, −1)

Aにおける法線の式は
 y=(-2/a)(x-a)+a^2/4
 y=-2x/a+2+a^2/4
Bにおける接線の式は
 y=-2x/b+2+b^2/4
 y=ax/2+2+4/a^2
両者連立させてxを求めると
 -2x/a+2+a^2/4=ax/2+2+4/a^2
 (a/2+2/a)x=a^2/4−4/a^2
a/2+2/a>0 より
 x=a/2−2/a
y=ax/2+2+4/a^2 に代入して
 y=a^2/4−1+2+4/a^2=a^2/4+4/a^2+1
よって、Qの座標は (a/2−2/a, a^2/4+4/a^2+1)

(3)
A(a,a^2/4)
P(a/2−2/a, −1)
Q(a/2−2/a, a^2/4+4/a^2+1)
において、
 AP^2=(a/2+2/a)^2+(a^2/4+1)^2
  =a^2/4+4/a^2+2+a^4/16+a^2/2+1
  =a^4/16+3a^2/4+4/a^2+3
 AQ^2=(a/2+2/a)^2+(4/a^2+1)^2
  =a^2/4+4/a^2+2+16/a^4+8/a^2+1
  =16/a^4+12/a^2+a^2/4+3
長方形AQBPの面積をSとすると
 S^2=(a^4/16+3a^2/4+4/a^2+3)(16/a^4+12/a^2+a^2/4+3)
   =1+3a^2/4+a^6/64+3a^4/16+12/a^2+9+3a^4/16+9a^2/4
    +64/a^6+48/a^4+1+12/a^2+48/a^4+36/a^2+3a^2/4+9
   =a^6/64+3a^4/8+15a^2/4+20+60/a^2+96/a^4+64/a^6
ここで、A=a^2/4+4/a^2 とおくと
 A^2=a^4/16+16/a^4+2
 A^3=a^6/64+a^2/4+4/a^2+64/a^6+a^2/2+8/a^2
   =a^6/64+3a^2/4+12/a^2+64/a^6
より、
 S^2=(a^6/64+3a^2/4+12/a^2+64/a^6)+6(a^4/16+16/a^4+2)+12(a^2/4+4/a^2)+8
  =A^3+6A^2+12A+8
  =(A+2)^3
A>0 なので、A+2 が最小のとき、S^2 は最小になり、S(>0)も最小になります。

a^2/4>0, 4/a^2>0 なので、相加相乗平均より
 A=a^2/4+4/a^2≧2√{(a^2/4)(4/a^2)}=2
等号成立は
 a^2/4=4/a^2
 a^4=16
a>0 より a=2

このとき、A=2,S^2=4^3=64,S=8

答え a=2 のとき、長方形AQBPの面積は最小値 8 をとります。


No.29792 - 2014/12/08(Mon) 14:19:16

Re: / すずき
とってもご丁寧に感動です。
いま確認しております。

No.29795 - 2014/12/08(Mon) 21:14:24