[
掲示板に戻る
]
記事No.29799に関するスレッドです
★
(No Subject)
/ すずき
引用
添付の問題について質問があります。
今回第一象限なので、
Θ(n＋１)＝1／2Θn
とできるようなのですが、もし第一象限じゃなかった場合、回答はどのように作れば良いのでしょうか。
どうかお願いします。
No.29799 - 2014/12/09(Tue) 15:28:57
☆
Re:
/ ヨッシー
引用
この問題を解くには、第１象限の角だけで十分ですので、これから
示すのはあくまでも参考程度（というか蛇足）です。
まず、
θ[n]が第１象限の角の場合
で解いてみます。
(1)
a[1]＝sin^2θ[1]＝3/4、sinθ[1]＞0 より
sinθ[1]＝√3/2、θ[1]＝π/3
a[n]＝sin^2θ[n] とおくと、
a[n+1]＝(1−cosθ)/2＝sin^2(θ[n]/2)＝sin^2(θ[n+1])
より
θ[n+1]＝θ[n]/2
θ[n]＝(π/3)/2^(n-1)
(2)
lim[n→∞]2^(2n)a[n]＝lim[n→∞]2^(2n)sin^2{(π/3)/2^(n-1)}
＝lim[n→∞][2^n・sin{(π/3)/2^(n-1)}]^2
ここで、ｘ＝(π/3)/2^(n-1) とおくと、
2^n・sin{(π/3)/2^(n-1)}＝(2π/3)(sinｘ/x)
よって、
lim[n→∞][2^n・sin{(π/3)/2^(n-1)}]＝2π/3
であり
lim[n→∞][2^n・sin{(π/3)/2^(n-1)}]^2＝4π^2/9
θ[n]が第２象限の角の場合
(1)
a[1]＝sin^2θ[1]＝3/4、sinθ[1]＞0 より
sinθ[1]＝√3/2、θ[1]＝2π/3
a[n]＝sin^2θ[n] とおくと、
a[n+1]＝(1＋cosθ)/2＝cos^2(θ[n]/2)＝sin^2(π/2−θ[n]/2)＝sin^2(θ[n+1])
π/2−θ[n]/2 は第１象限の角、θ[n+1] は第２象限の角なので、
θ[n+1]＋{π/2−θ[n]/2}＝π
θ[n+1]＝θ[n]/2＋π/2
θ[n+1]−π＝(θ[n]−π)/2
より、φ[n]＝θ[n]−π とおくと、φ[1]＝−π/3、φ[n]＝(−π/3)/2^(n-1)
θ[n]＝(−π/3)/2^(n-1)＋π
(2)
lim[n→∞]2^(2n)a[n]＝lim[n→∞]2^(2n)sin^2{(−π/3)/2^(n-1)＋π}
＝lim[n→∞]2^(2n)sin^2{(π/3)/2^(n-1)}
（以下同じ）
θ[n]が第３象限の角の場合
(1)
a[1]＝sin^2θ[1]＝3/4、sinθ[1]＜0 より
sinθ[1]＝−√3/2、θ[1]＝4π/3
a[n]＝sin^2θ[n] とおくと、
a[n+1]＝(1＋cosθ)/2＝cos^2(θ[n]/2)＝sin^2(π/2−θ[n]/2)＝sin^2(θ[n+1])
π/2−θ[n]/2 は−π/4 と ０ の間の角、θ[n+1] は第３象限の角なので、
θ[n+1]＋{π/2−θ[n]/2}＝π
θ[n+1]−π＝(θ[n]−π)/2
より、φ[n]＝θ[n]−π とおくと、φ[1]＝π/3、φ[n]＝(π/3)/2^(n-1)
θ[n]＝(π/3)/2^(n-1)＋π
(2)
lim[n→∞]2^(2n)a[n]＝lim[n→∞]2^(2n)sin^2{(π/3)/2^(n-1)＋π}
＝lim[n→∞][2^n・sin{(−π/3)/2^(n-1)}]^2
ここで、ｘ＝(−π/3)/2^(n-1) とおくと、
2^n・sin{(−π/3)/2^(n-1)}＝(−2π/3)(sinｘ/x)
よって、
lim[n→∞][2^n・sin{(−π/3)/2^(n-1)}]＝−2π/3
であり
lim[n→∞][2^n・sin{(−π/3)/2^(n-1)}]^2＝4π^2/9
θ[n]が第４象限の角の場合
（省略）
No.29808 - 2014/12/10(Wed) 09:39:50
☆
Re:
/ すずき
引用
ご丁寧に有難うございます！よくわかりました。
すべてこまかくそのように場合わけしてやるのですね。有難うございます。
No.29812 - 2014/12/11(Thu) 10:40:55
