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記事No.29855に関するスレッドです
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(No Subject)
/ すずき
引用
テンプの問題について
No.29855 - 2014/12/17(Wed) 16:22:33
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Re:
/ すずき
引用
⑵についてです
添付のように、極大極小の積の符号が負、ではとけませんか？？
kだけの式にならず解ききれなかったのですが・・・・
いつもすみませんが、宜しくお願いします。
No.29856 - 2014/12/17(Wed) 16:24:52
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Re:
/ ヨッシー
引用
極値が、異符号だけだと、３つの実数解を持つまでは言えますが、
それだけでは、すべての解が正であるとは言えません。
また、積を取ると、無闇に次数を増やすだけなので、
極小値が負、極大値が正と分けたほうが楽になります。
No.29858 - 2014/12/17(Wed) 16:56:09
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Re:
/ すずき
引用
極小値が負、と定めると、どのような回答になりますか？？？
誘導を使わないでとくとしたら、どう解くのかが非常に気になっています。
どうか宜しくお願いします。
No.29873 - 2014/12/18(Thu) 16:12:07
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Re:
/ ヨッシー
引用
まだ最後まで解いていませんが、１つ見つけたのは
上の回答では
f’(α)f’(β)＜０
を計算していますが、正しくは
f(α)f(β)＜０
です。
この問題では、積を取ったほうが良いかもしれません。
No.29897 - 2014/12/19(Fri) 10:00:27
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Re:
/ ヨッシー
引用
誘導というのは(i) のことでしょうか？
でも、a+b+c, abc, bc+ca+ab が揃っていたら、どうしたって
解と係数が思いつきますので、
x^3−6x^2＋kx−4＝0
は使います。
f(x)＝x^3−6x^2＋kx−4
とおくと、ｘで微分して、
f'(x)＝3x^2−12x＋k
f'(x)＝0 が異なる２実根を持つことより
D/4＝36−3k＞0 より k＜12 ・・・(i)
この条件下で 3x^2−12x＋k＝0 を解くと
ｘ＝{6±√(36−3k)}/3
α＝{6−√(36−3k)}/3, β＝{6＋√(36−3k)}/3 とおくと
f(α)f(β)＜０ ・・・ａ，ｂ，ｃが異なる３実数になる条件
この条件下で
α＞０，f(0)＜０ ・・・ａ，ｂ，ｃがいずれも正になる条件
f(0)＝-4＜0 は既に満たしています。
α＝{6−√(36−3k)}/3＞0 より
36−3k＜36, ｋ＞０ ・・・(ii)
f(α)f(β)＝(α^3−6α^2＋kα−4)(β^3−6β^2＋kβ−4)
＝α^3β^3＋36α^2β^2＋k^2αβ＋16
−6α^2β^2(α＋β)＋kαβ(α^2＋β^2)−4(α^3＋β^3)
−6kαβ(α＋β)＋24(α^2＋β^2)−4k(α＋β)
ここで、解と係数の関係より
α＋β＝４, αβ＝k/3
α^2＋β^2＝(α＋β)^2−２αβ＝16−2k/3
α^3＋β^3＝(α＋β)^3−３αβ(α＋β)＝64−4k
これらを代入して、
f(α)f(β)＝k^3/27＋4k^2＋k^3/3＋16
−8k^2/3＋(k^2/3)(16−2k/3)−4(64−4k)
−8k^2＋24(16−2k/3)−16k
＝4k^3/27−4k^2/3−16k＋144
＝(4/27)(k^3−9k^2−108k＋972)
＝(4/27)(k-9)(k^2-108)
＝(4/27)(k-9)(k-6√3)(k+6√3)
より、f(α)f(β)＜０ となるのは
k＜−6√3 または 9＜k＜6√3 ・・・(iii)
(i)(ii)(iii) より 9＜k＜6√3
積を取るほうが楽でした。
No.29901 - 2014/12/19(Fri) 14:19:46
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Re:
/ すずき
引用
ご丁寧に有り難うございます！
積でやってみましたが、計算が大変ですね・・・・いつもこの方法はこんなに計算が大変だったかなあ、と思いました。
ちなみに、微分のせきをとるミスはよくやってしまうのですまた間違えてました御指摘ほんとうに有り難うございます！
No.29917 - 2014/12/21(Sun) 16:20:32
