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記事No.29999に関するスレッドです
★ 何度もすみません… / mono25
80イ鈍角三角形という条件はどこに使うのでしょうか？
81上の式の整理方法が分かりません‥
No.29999 - 2014/12/30(Tue) 10:04:59
☆ Re: 何度もすみません… / ヨッシー
８０
ａ＝１ のとき△ＡＢＣは正三角形
6/7＜ａ＜１　のとき　ＢＣが最大の辺　⇔　∠Ａが最大の角　・・・(i)
１＜ａ＜２　のとき　ＡＢが最大の辺　⇔　∠Ｃが最大の角　・・・(ii)
となります。
(i) のとき
正弦定理より
　sin∠Ａ＝ＢＣ/２Ｒ
　　　＝3a/2√3(5a-4)
余弦定理より
　cos∠Ａ＝{(5a-4)^2＋(3a-2)^2−a^2}／2(5a-4)(3a-2)
　　＝(11a-10)/2(5a-4)

　sin^2∠Ａ＋cos^2∠ａ＝(372a^2−660a＋300)/12(25a^2−40a＋16)＝1
これを解いて、
　ａ＝１，a=3/2
6/7＜ａ＜１ を満たさないため、不適。
(ii) のとき
正弦定理より
　sin∠Ｃ＝3/2√3＝√3/2
このとき
　cos∠Ｃ＝-1/2　　←ここで使います
余弦定理より
　ＡＢ^2＝ＡＣ^2＋ＢＣ^2−２ＡＣ・ＢＣcos∠Ｃ
　(5a-4)^2＝(3a-2)^2＋a^2−2(3a-2)a(-1/2)
これを解いて
　ａ＝3/2,2/3
１＜ａ＜２　を満たすのは　ａ＝３／２
No.30007 - 2014/12/30(Tue) 10:42:28
☆ Re: 何度もすみません… / ヨッシー
８１
ＣからＡＢに下ろした垂線の足をＤとすると
　ａcosＢ＝ＢＤ
　ｂcosＡ＝ＡＤ
であるので、中線がＡＢの垂直二等分線になっているので、
　ａ＝ｂ　つまり　Ａ＝Ｂ
また
　sinＣ＝sin(180°−2A)＝sin2A＝2sinAcosA
より
　sin^2Ａ＝sin^2Ａ＋4sin^2Ａcos^2Ａ−2sin^2ＡcosＡ
sinＡ≠0 より
　2cos^2Ａ−cosＡ＝０
　cosＡ＝0, 1/2
cosＡ＝０ はあり得ないので、cosＡ＝1/2
よって、Ａ＝Ｂ＝Ｃ＝60° となり、正三角形と分かります。
No.30008 - 2014/12/30(Tue) 10:52:32
☆ Re: 何度もすみません… / mono25
81の途中式で
sinＣ＝sin(180°−2A)＝「sin2A＝2sinAcosA」
が有るのですが、この式変形は見たことがないので
どういう公式か教えてください(^^)
また、正弦・余弦定理を代入して、a=b=c
と辺の長さが等しい事で証明は出来ますか？
No.30014 - 2014/12/30(Tue) 14:59:26
☆ Re: 何度もすみません… / ヨッシー
Ａ＝Ｂが分かったので、
　Ｃ＝180°−Ａ−Ｂ＝180°−２Ａ
より
　sinＣ＝sin(180°−2A)
です。次に、公式　sin(180°−α)＝sinα より
　(与式)＝sin２Ａ
あとは倍角の公式で
　(与式)＝2sinAcosA
です。

後半の「辺の長さが等しい事で証明」とは何の証明のことかよく分かりません。
No.30015 - 2014/12/30(Tue) 15:47:39