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記事No.30070に関するスレッドです
★ 漸化式 / mono25 高1
392の⑴⑵の解き方を教えてくださいm(__)m
受験生優先で全く構わないので、お願いします
No.30070 - 2015/01/03(Sat) 13:11:28
☆ Re: 漸化式 / X
S[n]=2a[n]+n (A)
とします。
(1)
下にあるポイントに書かれている通りです。
(A)から
a[n]=S[n]-S[n-1]
=2a[n]+n-{2a[n-1]+(n-1)}
∴a[n]=2a[n-1]-1

(2)
(1)の結果を使うと
b[n]=2a[n]-1-a[n]
=a[n]-1 (B)
∴b[n-1]=a[n-1]-1(n≧2)(C)
(B)-(C)より
b[n]-b[n-1]=b[n-1]
∴b[n]=2b[n-1]
∴b[n]=b[1]2^(n-1) (D)
これはn=1のときも成立。
ここで(B)より
b[1]=a[1]-1 (E)
一方(A)より
a[1]=2a[1]+1 (F)
(D)(E)(F)より
b[n]=-2^n
No.30074 - 2015/01/03(Sat) 13:44:54
☆ Re: 漸化式 / mono25 高1
> (2)
> (1)の結果を使うと←具体的にどう使うのですか？
> b[n]=2a[n]-1-a[n]
> =a[n]-1 (B)
> ∴b[n-1]=a[n-1]-1(n≧2)(C)
> (B)-(C)より
> b[n]-b[n-1]=b[n-1]←右辺を引いて何故こうなるのでしょうか？
> ∴b[n]=2b[n-1]
> ∴b[n]=b[1]2^(n-1) (D)←どこの式を利用していますか？
> これはn=1のときも成立。
> ここで(B)より
> b[1]=a[1]-1 (E)
> 一方(A)より
> a[1]=2a[1]+1 (F)←(A)a[n]=2a[n-1]-1にn=1を代入してもこの式になりません...
> (D)(E)(F)より
> b[n]=-2^n
細かいですが、宜しくお願いします。
No.30094 - 2015/01/03(Sat) 23:41:16
☆ Re: 漸化式 / mono25 高1
また、⑶で階差数列{b[n]}より2≧nのときa[n]=a[1]+Σ(-2[n])で解いたのですが、答えが合いません。この方法で合っていますか？
No.30095 - 2015/01/03(Sat) 23:51:25
☆ Re: 漸化式 / X
> (B)-(C)より
> b[n]-b[n-1]=b[n-1]←右辺を引いて何故こうなるのでしょうか？
(B)-(C)より
b[n]-b[n-1]=a[n]-a[n-1]
b[n]の定義により
a[n]-a[n-1]=b[n-1]
∴b[n]-b[n-1]=b[n-1]

> ∴b[n]=2b[n-1]
> ∴b[n]=b[1]2^(n-1) (D)←どこの式を利用していますか？
b[n]=2b[n-1]
=2{2b[n-2]}
=(2^2)b[n-2]
=…
={2^(n-1)}b[1]
もっと端的に言うと
b[n]=2b[n-1]
より{b[n]}は公比2の等比数列となっています。

> 一方(A)より
> a[1]=2a[1]+1 (F)←(A)a[n]=2a[n-1]-1にn=1を代入してもこの式になりません...
文章をよく読みましょう。
n=1を代入するのは
>>a[n]=2a[n-1]-1
ではなくて(A)、つまり
S[n]=2a[n]+n
です。
No.30116 - 2015/01/04(Sun) 14:28:57
☆ Re: 漸化式 / X
>>また、⑶で階差数列〜
使いたい方針に問題はないようですが
使い方に問題があります。

(2)の過程により
n≧2のとき
a[n]=a[1]+Σ[k=1〜n-1]b[k]
(第二項のパラメータはnではなくkであることに注意)
=-1-Σ[k=1〜n-1]2^k
=-1-2{1-2^(n-1)}/(1-2)
=-2^n-1
∴
a[1]=-1,a[n]=-2^n-1 (n≧2)
となります。
No.30117 - 2015/01/04(Sun) 14:38:52
☆ Re: 漸化式 / X
>>受験生優先で全く構わないので、お願いします
この類の数学掲示板では殆どそうだと思いますが、
質問者が受験生であるか否かで回答がつく
優先順位が決まることはありませんので
安心してもいいですよ。
No.30119 - 2015/01/04(Sun) 14:49:52
☆ Re: 漸化式 / mono25 高1
高配ありがたく思います。

ひとつだけ質問があります
> ∴b[n]=2b[n-1]
> ∴b[n]=b[1]2^(n-1) (D)←どこの式を利用していますか？
b[n]=2b[n-1]
=2{2b[n-2]}
=(2^2)b[n-2]
=…
={2^(n-1)}b[1]

ここの途中式が分かりません…
昨日中に返信出来ずすみません。
No.30134 - 2015/01/06(Tue) 00:17:47