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記事No.30203に関するスレッドです
★ 三角形に内接する四角形の面積 / UW
三角形に内接する四角形の面積に関する図形の問題です。
答えだけはわかるのですが、解説がないのでなぜそうなるのかわからないので教えてください。
よろしくお願いします。
No.30203 - 2015/01/09(Fri) 15:44:27
☆ Re: 三角形に内接する四角形の面積 / ヨッシー
Ｔにおいて、ＡＢを底辺とした時の高さをｈとします。
このとき、△ＣＧＦの高さは　ｘ1ｈ であるので、
Ｒ1 の高さは　ｈ(1−ｘ1)、面積はＴの ２ｘ1(1−ｘ1) 倍、つまり　２ｘ1(1−ｘ1)ＳT。
同様に　△ＣＫＪの高さは　ｘ2ｈ、
Ｒ2の高さは （ｘ1−ｘ2)ｈ、面積はＴの ２ｘ2(ｘ1−ｘ2) 倍、つまり　２ｘ2(ｘ1−ｘ2)ＳT

よって、ｙ＝２ｘ1(1−ｘ1)＋２ｘ2(ｘ1−ｘ2)＝−２{ｘ2^2＋ｘ1ｘ2＋ｘ1(1−ｘ1)}
これは、ｘ2＝(1/2)x1 のとき、最大値をとります。　　・・・タチ

これを代入して、
　ｙ＝−２{ｘ1^2/4−ｘ1^2/2＋ｘ1^2−ｘ1}
　　＝(-3/2)ｘ1^2＋２ｘ1
　　＝(-3/2)(ｘ1^2−(4/3)ｘ1)
これは、ｘ1＝2/3 ・・・ツテ
のとき最大値 2/3 ・・・　トナ　をとります。

Ｒ1の面積＝Ｒ2の面積　となるのは、
　ｘ1(1−ｘ1)＝ｘ2(ｘ1−ｘ2)　　・・・・（ア）
のとき。整理して
　ｘ2^2−ｘ1ｘ2＋ｘ1(1−ｘ1)＝０
判別式を取って、
　Ｄ＝ｘ1^2−4ｘ1(1−ｘ1)＝５ｘ1^2−４ｘ1＝ｘ1(５ｘ1−４)≧0
よって、０＜ｘ1＜１ より
　ｘ1≧4/5　　・・・ニヌネ
（ア）に　ｘ2＝(1/2)x1　を変形した　ｘ1＝２ｘ2 を代入して
　２ｘ2(1−２ｘ2)＝ｘ2(２ｘ2−ｘ2)
　２ｘ2−４ｘ2^2＝ｘ2^2
　これを解いて　ｘ2＝2/5　・・・ヒフ　よって、ｘ1＝4/5　・・・ノハ
このとき、
　ｙ＝(-3/2)ｘ1^2＋２ｘ1＝8/5−(3/2)(16/25)
　　＝40/25−24/25＝16/25　　・・・ヘホ
No.30205 - 2015/01/09(Fri) 16:36:01
☆ Re: 三角形に内接する四角形の面積 / UW
なるほど、そうやって解くんですね。丁寧な解説ありがとうございました。
No.30210 - 2015/01/09(Fri) 23:49:33