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記事No.30217に関するスレッドです
★ 空間図形 / じょん
中３レベルらしいのですが
正三角柱ABC-DEFがあり　一辺が１０＋２√３ｃｍ　立体の高さが１２ｃｍです
今　この立体の中に半径１ｃｍの球が入っていて
この球が正三角柱内部を上下左右に動き回るとき

１）この球が内部を動くことができる部分の立体の表面積
２）この球が内部を動くことができる部分の立体の体積

これの求め方をお願いします
答えは５４π＋５０√３＋３００
　　　７９π／３　＋３００（√３＋１）　

となってますが
見取り図などの書き方　動く経路？のような表現が上手く
想像できません
No.30200 - 2015/01/09(Fri) 11:58:14
☆ Re: 空間図形 / ヨッシー
単位cm は省略します。

図は上からと横から見たところです。

斜線の部分は、１辺１０の正三角形で、
上から下まで（球が通ることが出来ます）。
表面に出ている部分の面積は、10×5√3÷2×2＝50√3　・・・(i)
体積は　25√3×12＝300√3　　・・・(1)

青は半径１高さ１０の円柱を４等分したものです。
１個につき
表面に出ている部分の面積は、円周の1/4×10の長方形なので　π/2×10＝5π
体積は　１０π÷４＝５π／２
これが６個あるので
表面積は　５π×６＝３０π　　・・・(ii)
体積は　５π／２×６＝１５π　　・・・(2)

黄色は半径１高さ１０の円柱を３等分したものです。
１個につき
表面に出ている部分の面積は、円周の1/3×10の長方形なので　2π/3×10＝20π/3
体積は　１０π÷３＝１０π／３
これが３個あるので
表面積は　20π/3×３＝２０π　　・・・(iii)
体積は　１０π／３×３＝１０π　　・・・(3)

赤は半径１の半球を３等分したもので、上下６個あります。
表面積も体積も球１個分なので
表面積は　４π　・・・(iv)
体積は　４π／３　　・・・(4)

緑は青と青で挟まれた部分で、直方体です。
１つあたりの
表面積は　１０×１０＝１００
体積は　１×１０×１０＝１００
これが３個あるので
表面積は　３００　・・・(v)
体積は　３００　・・・(5)

(i)(ii)(iii)(iv)(v) より、表面積は
　50√3＋54π＋300
(1)(2)(3)(4)(5) より、体積は
　300(√3＋1)＋79π/3
No.30201 - 2015/01/09(Fri) 13:15:05
☆ Re: 空間図形 / ヨッシー
こんなの作ってみました。
No.30217 - 2015/01/11(Sun) 03:20:23
☆ Re: 空間図形 / じょん
わざわざ図をつけて頂きありがとうございます
１週間考えてようやく理解できました
No.30268 - 2015/01/18(Sun) 12:08:25