以下の問いの解答について説明があります。
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No.30279 - 2015/01/20(Tue) 19:10:48
| ☆ Re: / deep make | | | 関数f(x)がx＝aで連続であれば,
x[n]がn→∞で, x[n]→a となる数列に対し,
lim[n→∞]f(x[n])＝f(lin[n→∞]x[n])＝f(a) が成り立ちます.
ゆえに上の問題において, lim[n→∞]x[n]＝c とするとき,
lim[n→∞]log(x[n])＝log(lim[n→∞]x[n])＝log(c) が成り立ちます.
従って, log(c)＝log(b) となりますが,
ここから c＝b を導くために, 単射性を必要とします.
関数fの単射性とは, 関数fについて,
f(x)＝f(y) ならば, x＝y が成り立つ関数であるということです.
(言い換えれば, x≠y ならば, f(x)≠f(y) ということです)
例えば, f(x)＝|x| とすると, x≠0 に対し,
f(x)＝f(y) ⇒ x＝y 又は x＝−y となるため,
x＝y が必ず成り立つ訳ではありません.
(x＝−y かもしれません)
もし, 対数関数が単射でない場合,
log(c)＝log(b) だからといって, c＝bとはいえなくなります.
しかし, 実際に, 対数関数は単射なので,
log(c)＝log(b) ⇒ c＝b が成り立ちます.
従って, 正確には書く必要があると思います.
この問題の解説者にとっては,
対数関数が単射であることは自明だったので,
あまり意識せずに書いたのだと思います.
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No.30315 - 2015/01/22(Thu) 13:52:51 |
| ☆ Re: / deep make | | | 関数f(x)がx＝aで連続でない場合,
x[n]をn→∞で, x[n]→a となる数列とするとき,
lim[n→∞](f(x[n]))≠f(lim[n→∞]x[n]) となります.
例えば, 適当な微分可能な関数g(x)を用いて,
f(x)＝(g(x)−g(a))/(x−a) と置くとき,
f(x)はx＝aで連続な関数ではありません.
x[n]をn→∞で, x[n]→a となる数列(例えば x[n]＝a＋(1/n))とするとき,
lim[n→∞]f(x[n])＝g'(a) となりますが,
f(a)は定義されていないので,
f(lim[n→∞]x[n])＝f(a) は定義できません.
(当然, lim[n→∞](f(x[n]))＝f(lim[n→∞]x[n]) ではありません)
従って, もし対数関数が連続でなかったら,
lim[n→∞]log(x[n])≠log(lim[n→∞]x[n]) となってしまいます.
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No.30317 - 2015/01/22(Thu) 14:08:26 |
| ☆ Re: / deep make | | | 高校数学において, 一般的に対数関数 y＝log(x) は,
指数関数 y＝e^x の逆関数として定義されます.
関数 y＝e^x は, 全射ではありませんが, 単射な写像です.
逆関数を定義するためには, その関数の「単射性」が重要になります.
関数 f:A→B が単射であれば, f:A→f(A) は全単射なので,
f(A)⊂B上で逆関数 g:f(A)→A を定義することができます.
指数関数 y＝e^x は, e^(実数)＝(正の実数) なので,
対数関数 y＝log(x) は, 正の実数上で定義されています.
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No.30342 - 2015/01/22(Thu) 21:29:14 |
| ☆ Re: / deep make | | | 失礼しました.
まず, 用語を説明しますが,
全単射とは, 関数 f:A→B が「全射」かつ「単射」であることです.
f(A)＝{f(a)∈B | a∈A} なので,
f:A→f(A) は必然的に全射になります.
従って, f:A→B が単射であれば,
f:A→f(A) は全単射になります.
全単射であれば, 写像 g:f(A)→A で,
任意の a∈A に対し, g(f(a))＝a となる写像が存在します.
このとき, 写像g を写像fの逆関数と定義しています.
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No.30346 - 2015/01/22(Thu) 23:34:22 |
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