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記事No.30298に関するスレッドです
★
微分
/ やくみ
引用
y(x)={g(x)}^2をg(x)で微分
⇒dy(x)/dg(x)=2g(x)^(2-1)
という記述があるのですが
これは正しいのでしょうか？
たとえばg(x)=x^2＋x＋1というxの関数だとすると、
このxの関数で{g(x)}^2を微分するということですよね？
いままでxでの微分しかしたことないのでわかりません。
教えてください。お願いします。
No.30285 - 2015/01/21(Wed) 05:41:32
☆
Re: 微分
/ ヨッシー
引用
正しいです。
dy/dx はｘに対するｙの変化率のようなものですが、
dy/dg はg(x) に対するｙの変化率です。
ただし、g(x)=x^2＋x＋1 に対し、
y＝{g(x)}^2＝x^4+2x^3+3x^2+2x+1
のように、４次関数のグラフをイメージしていては、理解は
難しいでしょう、いっそ、ｘは無関係のものとして、
ｙ＝ｇ^2
と二次関数だけを考えれば、良いでしょう。
ｘは内部的にはｇの値に影響しますが、dy/dg で考えるのは
あくまでも、ｇとｙの関係だけです。
またその先に、
dy/dx＝(dy/dg)(dg/dx)
＝(2g)(2x+1)
＝2(x^2+x+1)(2x+1)
という計算も出て来ます。もちろんこれは、
y＝{g(x)}^2＝x^4+2x^3+3x^2+2x+1
のｘに関する微分
dy/dx＝4x^3＋6x^2＋6x＋2
と一致します。
No.30287 - 2015/01/21(Wed) 09:42:45
☆
Re: 微分
/ やくみ
引用
「g(x)=x^2＋x＋1 に対し、
y＝{g(x)}^2＝x^4+2x^3+3x^2+2x+1
のように、４次関数のグラフをイメージしていては、理解は
難しいでしょう、」仰るとおりこのように考えてしまいます。
どうしてxを無視してy=g^2を考えれるのでしょうか。y=g^2はgy平面上のすべての実数を表すのでたとえばxを無視せずにg=g(x)=x^2＋x＋1・・・?@だとすると
?@を満たさないgもありますよね。
どうすればイメージできるのですかね；
アドバイスお願いします。
No.30290 - 2015/01/21(Wed) 18:54:59
☆
Re: 微分
/ やくみ
引用
「ｘは内部的にはｇの値に影響しますが、dy/dg で考えるのは
あくまでも、ｇとｙの関係だけです。」
ここのところをもう少し詳しくおしえていただけないでしょうか。高校数学2レベルの微分の知識しかありませんがおしえてください。おねがいします。
No.30291 - 2015/01/21(Wed) 18:58:16
☆
Re: 微分
/ ヨッシー
引用
図のように、ｘは水面下で動き、ｙにも変化をもたらすのですが、
dy/dg と言った時に、見ているのは、上のグラフだけです。
たとえば、ｇ＝１ のときの微分係数は２である、というような
ことだけで、そのときｘがいくつだったとかは気にしません。
No.30298 - 2015/01/22(Thu) 09:34:40
