定積分の問題です。
解説と解答お願いします
(1)
∫[1,2](x＋1/ 【x^2 (x＋2)】)dx＝○/○×(1＋log○/○)
ただし,正の数Aに対して,logAの自然対数を表す。
(2)
∫[-2,1](√4- x^2 )dx＝○/○π＋√○/○
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No.30301 - 2015/01/22(Thu) 11:00:05
| ☆ Re: / ヨッシー  | | | いずれも、カッコが不適切です。
(1) は、先に解いた方が与えられた式なら、問題はありません。
(1)
1/{x^2(x+2)}＝a/x＋b/x^2＋c/(x+2)
と書けたとします。通分して計算すると、分母はx^2(x+2) であり、
(分子)＝ax(x+2)＋b(x+2)＋cx^2
＝(a+c)x^2＋(2a+b)x＋2b＝1
よって、b=1/2, a=-1/4, c=1/4
(与式)＝∫[1,2]ｘdx＋∫[1,2](-1/4x＋(1/2)x^(-2)＋1/4(x+2))dx
＝[x^2/2][1,2]＋[(-1/4)logx−1/2x＋(1/4)log(x+2)][1,2]
＝3/2 ＋ (-1/4)log２−1/4＋(1/4)log４ ＋(1/4)log１＋1/2−(1/4)log３
＝7/4 ＋(1/4)log(4/2・3)
＝(1/4)(7＋log(2/3))
枠と合わないので、
∫[1,2](x＋1)/{x^2 (x＋2)}dx として解いてみます。途中まで同じで、
(a+c)x^2＋(2a+b)x＋2b＝x+1
よって、b=1/2, a=1/4, c=-1/4
(与式)＝∫[1,2](1/4x＋(1/2)x^(-2)−1/4(x+2))dx
＝[(1/4)logx−1/2x−(1/4)log(x+2)][1,2]
＝(1/4)log２−1/4−(1/4)log４＋1/2＋(1/4)log３
＝(1/4){1＋log(3/2)}
(2) はほぼ間違いなく ∫[-2,1](√(4- x^2))dx と思われます。
ｘ＝2cosθ とおくと、dx＝−2sinθdθ
-2≦ｘ≦1 は π≧θ≧π/3 に相当
√(4-x^2)＝2sinθ
(与式)＝∫[π, π/3](−4sin^2θ)dθ
＝2∫[π/3, π](2sin^2θ)dθ
＝2∫[π/3, π](1−cos2θ)dθ
＝2[θ][π/3, π]−[sin2θ][π/3, π]
＝(4/3)π＋√3/2
なお、(2) は図のように半径２の半円をｘ＝１ の所で切った部分の面積ですので、
図形的にも求めることが出来ます。
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No.30306 - 2015/01/22(Thu) 11:52:11 |
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