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記事No.30354に関するスレッドです
★ (No Subject) / wataru(大学受験）
以下の問いについて質問があります。
No.30353 - 2015/01/23(Fri) 09:43:10
☆ Re: / wataru(大学受験）
解答の青線部分について質問があります。

lim[n→∞](3-a[n])=0から

いきなりlim[n→∞]a[n]=3

とはいえないのではないでしょうか。
（なぜならまだa[n]が収束する事が分かっていないため）

たしかに
a[n+1]=√(1+a[n])からf(x)=1+√(1+x)
として
f(x)とy=xの交点を求めれば
lim[n→∞]a[n]=3である事は予測できますが
添付した解答にはそれがまったく記述されていません。
また、もし記述されていたとしても
あくまで推測なので、a[n]が収束する事を示す根拠には
ならないと思います。
No.30354 - 2015/01/23(Fri) 09:44:10
☆ Re: / IT
> lim[n→∞](3-a[n])=0から
> いきなりlim[n→∞]a[n]=3
> とはいえないのではないでしょうか。
> （なぜならまだa[n]が収束する事が分かっていないため）

これは、証明なしに使っていいと思います。

直観的には明らかですが、極限の場合は直観と違うこともあるので、念のため証明すると、
lim[n→∞]a[n]
=lim[n→∞]{3-(3-a[n])}
=lim[n→∞]3-lim[n→∞](3-a[n])
=3-0
=3
No.30386 - 2015/01/24(Sat) 14:42:08
☆ Re: / wataru(大学受験)
ITさん回答ありがとうございました。
理解することができました。証明、とても分かりやすかったです。
No.30391 - 2015/01/24(Sat) 15:43:04