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記事No.30512に関するスレッドです
★ (No Subject) / すずき
⑴について質問です。
まず、２の累乗のところで、ｆ(ｎ)のこすうがひとつ増えることに着目して数学的きのう法において場合わけしました
No.30512 - 2015/01/29(Thu) 19:22:06
☆ Re: / すずき
それが以下です。
二点質問です

波線ひいたところが、なぜ１／２^ｆ(l＋１)と表せるかわからないのでおしえてください。

また、l＋１が２の累乗を満たさないとき
偶奇でまた場合わけをするらしいのですが。さらにそのように場合わけが必要な理由がわかりません。なぜなら、ｆの個数は変わらないと思うからです。

難しくて困りました・・・・どうか易しく教えてください。
No.30513 - 2015/01/29(Thu) 19:26:03
☆ Re: / ヨッシー
実際に解いてみます。
(1)
f[1]＝0
f[2]＝f[3]＝1
f[4]＝f[5]＝f[6]＝f[7]＝2
　・・・
f[2^p]＝・・・・f[2^(p+1)-1]＝p
であることをまず確認しておきます。

n=1 のとき
f[1]＝0 より、a[1]＝b[1]＝1 とすれば
　S[1]＝1＝a[1]/2^(f[1])b[1]
と表せる。

n=k のとき
　S[k]＝1＝a[k]/2^(f[k])b[k]　　a[k], b[k] は奇数
と書けたとします。

このとき n=k+1 について
i)
f[k]＜f[k+1] つまり、k+1 が、k+1＝2^p の形の数である時
　f[k+1]＝f[k]＋1＝p　ただし k+1＝2^p
　S[k+1]＝S[k]＋1/(k+1)
　　　＝a[k]/2^(f[k])b[k]＋1/2^p
　　　＝a[k]/2^(f[k])b[k]＋1/2^(f[k+1])
　　　＝a[k]/2^(f[k+1]−1)b[k]＋1/2^(f[k+1])
　　　＝2・a[k]/2^(f[k+1])b[k]＋b[k]/2^(f[k+1])b[k]
　　　＝(2・a[k]＋b[k])/2^(f[k+1])b[k]
2・a[k]＋b[k], b[k] は奇数であるので、
　S[k+1]＝1＝a[k+1]/2^(f[k+1])b[k+1]　　a[k+1], b[k+1] は奇数
の形に書けたことになります。
ii)
k+1 が、k+1＝2^p の形の数でない時
　f[k+1]＝f[k]
であり、
　S[k+1]＝S[k]＋1/(k+1)
　　　＝a[k]/2^(f[k])b[k]＋1/(k+1)
　　　＝a[k]/2^(f[k+1])b[k]＋1/(k+1)
　　　＝{(k+1)a[k]＋2^(f[k+1])b[k]}/2^(f[k+1])b[k](k+1)

k+1 が奇数の時
(k+1)a[k]＋2^(f[k+1])b[k],b[k](k+1) は共に奇数であるので、
　S[k+1]＝1＝a[k+1]/2^(f[k+1])b[k+1]　　a[k+1], b[k+1] は奇数
の形に書けます。

k+1 が偶数の時
　2^p＜k+1＜2^(p+1)
となる p に対して、f[k+1]＝p であり、k+1 に掛けられている２の個数は高々 p-1 であり、それを q とします。
つまり、k+1＝2^q×c (cは奇数、q＜p) と書けます。
すると、
　 S[k+1]＝{(2^q×c)a[k]＋2^p・b[k]}/2^(f[k+1])b[k](2^q×c)
分母分子 2^q で割って、
　 S[k+1]＝{c・a[k]＋2^(p-q)・b[k]}/2^(f[k+1])b[k]・c
c・a[k]＋2^(p-q)・b[k]、b[k]・c は共に奇数であるので、
　S[k+1]＝1＝a[k+1]/2^(f[k+1])b[k+1]　　a[k+1], b[k+1] は奇数
の形に書けます。

以上より、任意の自然数ｎについて
　S[n]＝1＝a[n]/2^(f[n])b[n]　　a[n], b[n] は奇数
の形に書けます。
No.30516 - 2015/01/30(Fri) 11:50:43
☆ Re: / すずき
長々と丁寧に本当に有り難うございます！偶奇が必要となる箇所は、a(k等が奇数かどうか調べるためなんですね、
ところで、
２^pをみたすK＋１が存在するとき、
１／(k＋１)＝１／２^ｆ(k＋１)となるのはどうしてですか？？？？
No.30538 - 2015/01/31(Sat) 18:32:58
☆ Re: / ヨッシー
>２^pをみたすK＋１が存在するとき、
>１／(k＋１)＝１／２^ｆ(k＋１)となるのはどうしてですか？？？？
ｋ＋１＝２^p なので
　１／(k+1)＝１／2^p
f[k+1]＝f[2^p]＝ｐ　なので、
　１／(k+1)＝１／2^p＝１／2^f[k+1]
です。
　
No.30543 - 2015/01/31(Sat) 21:12:50