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記事No.30554に関するスレッドです
★ (No Subject) / ぽー
放物線A:y＝x^2とy軸上に中心Bをもつ円Cが2点P.Qで接している。∠PBQ＝120度であるとき、円Cの方程式を求めよ。

という問題です。私なりにやってみたのですが、解答とはやり方が違い、答えも出ずにつまってしまいました。このやり方では答えが出ないのでしょうか。よろしくお願いします。
No.30552 - 2015/02/01(Sun) 18:37:02
☆ Re: / ぽー
すみません、件名を入れ忘れました。微積の範囲です。
No.30553 - 2015/02/01(Sun) 18:37:42
☆ Re: / ぽー
すみません、なぜか画像がつけれていませんでした。
No.30554 - 2015/02/01(Sun) 18:38:47
☆ Re: / X
方針に問題はありませんが、途中計算を間違えていますね。

まず、点PにおけるAの接線と点Bとの距離が
円Cの半径に等しいことから
|a+b^2|/√(4b^2+1)=2b/√3 (A)
次にBPが円Cの半径に等しいことから
√{b^2+(b^2-a)^2}=2b/√3 (B)
(A)(B)を連立して解きます。
但し
a＞0,b＞0 (C)
に注意します。
(A)より
{|a+b^2|^2}/(4b^2+1)=(4/3)b^2
整理して
13b^4-(6a-4)b^2-3a^2=0 (A)'
(B)より
b^2+(b^2-a)^2=(4/3)b^2
整理して
3b^4-(6a+1)b^2+3a^2=0 (B)'
(A)'+(B)'より
16b^4-(12a-3)b^2=0
(C)によりb≠0ゆえ
b^2=3(4a-1)/16 (D)
これを(B)'に代入して
(27/256)(4a-1)^2-(3/16)(6a+1)(4a-1)+3a^2=0
(9/256)(4a-1)^2-(1/16)(6a+1)(4a-1)+a^2=0
9(4a-1)^2-16(6a+1)(4a-1)+256a^2=0
{9(4a-1)-16(6a+1)}(4a-1)+256a^2=0
(-60a-25)(4a-1)+256a^2=0
16a^2-40a+25=0
(4a-5)^2=0
∴a=5/4
これを(D)に代入して(C)に注意すると
b=(√3)/2
よって求める円の方程式は
x^2+(y-5/4)^2=1
となります。
No.30555 - 2015/02/01(Sun) 19:49:40
☆ Re: / ぽー
詳しくありがとうございました！
助かりました！（＾Ｏ＾）
No.30556 - 2015/02/01(Sun) 21:40:15