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記事No.30558に関するスレッドです
★ 数?V　数列・極限 / 由希
これが解けません。

教えてください。お願いします。
No.30558 - 2015/02/02(Mon) 19:56:15
☆ Re: 数?V　数列・極限 / X
問題の無限級数の部分和をS[n]とすると
S[n]=Σ[k=1〜n]{5(2/r)^n+2(-3/r)^n}

(i)2/r≠1かつ-3/r≠1、つまりr≠2かつr≠-3のとき
S[n]=5(2/r){1-(2/r)^n}/(1-2/r)+2(-3/r){1-(-3/r)^n}/(1+3/r)
=10{1-(2/r)^n}/(r-2)-6{1-(-3/r)^n}/(r+3)
=10/(r-2)-6/(r+3)-10{(2/r)^n}/(r-2)+6{(-3/r)^n}/(r+3)
=10/(r-2)-6/(r+3)+{(-3/r)^n}{6/(r+3)-10{(-2/3)^n}/(r-2)}
∴|-3/r|＜1、つまりr＜-3,3＜rのとき
lim[n→∞]S[n]=10/(r-2)-6/(r+3)
1≦|-3/r|、つまり-3＜r＜2,2＜r≦3のとき
lim[n→∞]S[n]は発散。
(ii)r=2のとき
S[n]=Σ[k=1〜n]{5+2(-3/2)^n}=5n+(6/5){(-3/2)^n-1}
∴lim[n→∞]S[n]は発散。
(iii)r=-3のとき
S[n]=Σ[k=1〜n]{5(-2/3)^n+2}=2{(-2/3)^n-1}+2n
∴lim[n→∞]S[n]は発散。

以上をまとめて
-3≦r≦3のとき、発散
r＜-3,3＜rのとき、10/(r-2)-6/(r+3)に収束
No.30559 - 2015/02/03(Tue) 15:29:32
☆ Re: 数?V　数列・極限 / 由希
ありがとうございました。
場合分けするところで間違えていたみたいです。
No.30577 - 2015/02/05(Thu) 16:29:08