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記事No.30576に関するスレッドです
★ 三角形の内角を求める / 三浦
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補助線引いて二等辺三角形作って角の和について2つ立式しても同じ式になるし
2つの小さい三角形について正弦定理とか積和定理使って整理しても
sinX°=sin54°-1/2とかになって解けません

どのように解けばいいのでしょうか？お願いします
No.30573 - 2015/02/04(Wed) 23:00:09
☆ Re: 三角形の内角を求める / みずき
正弦定理などに言及されているので、
次のような解法も許容されると勝手に判断して回答します。

おっしゃるように補助線を引き二等辺三角形を作ります。
12°と42°が集まっている頂点をA
x°と21-(x/2)°が集まっている頂点をB
84°と21-(x/2)°が集まっている頂点をC
三角形の内部の点をDとそれぞれおくと、
チェバの定理の角度版から、
sin(∠DBA)sin(∠DAC)sin(∠DCB)=sin(∠DBC)sin(∠DAB)sin(∠DCA)
が言えるので、
sin(x°)
=sin(12°)sin(84°)/sin(42°)
=(-1/2)(cos(96°)-cos(72°))/sin(42°)
=(cos(84°)+cos(72°))/(2sin(42°))
={(√(30-6√5)-√5-1)/8+(√5-1)/4}/{(√(30+6√5)-√5+1)/4}
=(√5-1)/4
∴ x°=18°
No.30575 - 2015/02/05(Thu) 08:12:54
☆ Re: 三角形の内角を求める / ヨッシー
sinX°=sin54°-1/2
まで来たなら、以下のようにも出来ます。

図のような、36°、72°、72°の二等辺三角形を考えます。
●１個が36°です。
ＡＢ＝ＡＣ＝１、ＢＣ＝ｘ　とすると、
△ＡＢＣ∽△ＢＣＤより
　ＡＢ：ＢＣ＝ＢＣ：ＣＤ
　１：ｘ＝ｘ：１−ｘ
　ｘ^2＋ｘ−１＝０
これをｘ＞０の範囲で解いて
　ｘ＝（−１＋√５）／２
よって、
　cos72°＝sin18°＝ｘ／２＝（√5−１）／４
　cos18°＝sin72°＝√(10＋2√5)／４
これより
　sin36°＝cos54°＝√(10−2√5)／４
　sin54°＝cos36°＝（√5＋１）／４
を得ます。

これを知った上でなら、
　sinＸ＝sin54°−1/2＝（√5−１）／４＝sin18°
が導けます。
No.30576 - 2015/02/05(Thu) 09:52:27
☆ Re: 三角形の内角を求める / 三浦
みずきさん、ヨッシーさんありがとうございます。理解できました。
みずきさんの解法ではcos84°とsin42°の値も求める必要があると思いますが、どのように求めるのでしょうか？
cos84°=sin6°=sin(36°-30°)
cos6°=cos(36°-30°)
sin42°=sin(36°+6°)
とするのですか？
No.30578 - 2015/02/05(Thu) 17:18:17
☆ Re: 三角形の内角を求める / ヨッシー
お察しの通り加法定理でしょうね。
上の方法の他に
　84°＝30°＋54°
　42°＝72°−30°
などでも出来ます。
（18°、36°、54°、72°はクリアしているとします）
No.30579 - 2015/02/05(Thu) 17:36:30
☆ Re: 三角形の内角を求める / みずき
> みずきさんの解法ではcos84°とsin42°の値も求める必要があると思いますが、どのように求めるのでしょうか？

もう蛇足かもしれませんが・・・
私は42=60-18と84=2×42から求めました。
No.30582 - 2015/02/05(Thu) 18:24:03
☆ Re: 三角形の内角を求める / 三浦
なるほど〜。
42°のような中途半端な角度でも何通りか和の作り方があって求められるんですね。お2人ともどうもありがとうございました！
No.30587 - 2015/02/05(Thu) 21:16:44