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記事No.30617に関するスレッドです
★ 上智大学理工学部 / Rio
添付の問題の(3)で悩んでいます。
f(x)をt=sinxで表すと(1+3a)t-4asin^3x
となりますが
f'(x)=0 の2解をα>βとして (2)より(3)の場合は最大値はx=αの時なのでf(α)を計算し、aの関数として最小値を考えるというシンプルな考えで計算しているのですが求まりません。
よろしくお願いします。
No.30617 - 2015/02/09(Mon) 17:26:19
☆ Re: 上智大学理工学部 / ヨッシー
(3)
　０＜√{(3a+1)/12a}＜１ のとき、極大値は
　f(√{(3a+1)/12a})＝(3a+1)√{(3a+1)/12a}−4a{(3a+1)/12a}√{(3a+1)/12a}
　　＝{2(3a+1)/3}√{(3a+1)/12a}＝(2/3)√{(3a+1)^3/12a}
これとは別に、
　f(t)＝{2(3a+1)/3}√{(3a+1)/12a}
となるｔの値をγとすると、
　−１≦γ　のとき　f(-1)＝−(3a+1)＋4a＝a−1 が最大値
これは、ａに対して単調増加なので、ａが小さいほど小さい。
よって、γ＝−１ のとき、最大値は　(2/3)√{(3a+1)^3/12a}　であり、
結局、(2/3)√{(3a+1)^3/12a}} の値が最小となるａを求めることとなります。
　g(a)＝(3a+1)^3/12a
とおきます。
　g'(a)＝{108a(3a+1)^2−12(3a+1)^3}/144a^2
　　　＝(3a+1)^2(108a−36a−12)/144a^2
　　　＝(3a+1)^2(72a−12)/144a^2
よって、ａ＝1/6 （コ／サ）のとき、g(x) は最小となり、このとき
　g(1/6)＝(3/2)^3/2＝27/16
　(2/3)√{(3a+1)^3/12a}}＝(2/3)√(27/16)＝(√3)/2　(シ／ス)
このとき、最大値を与えるｔは、f(t) の極大値を与える
　ｔ＝√{(3a+1)/12a}＝(√3)/2　(セ／ソ)
となります。
No.30618 - 2015/02/09(Mon) 18:26:58
☆ Re: 上智大学理工学部 / Rio
わかりやすくありがとうございました！
No.30665 - 2015/02/13(Fri) 12:16:46