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記事No.30635に関するスレッドです
★ twitterで見つけた整数問題 / sakana
twitterで見つけた問題なのですが、解き方がさっぱり分かりません。どなたかヒントだけでも教えて頂けないでしょうか。
No.30634 - 2015/02/11(Wed) 17:11:18
☆ Re: twitterで見つけた整数問題 / sakana
こちらの問題です。
No.30635 - 2015/02/11(Wed) 17:13:16
☆ Re: twitterで見つけた整数問題 / みずき
自作問題ということなので、
次のような回答をしても良いだろうと勝手に判断します。

Schinzelという人が
「n≧13のとき2^n-1が2n+1以上の素因数を持つ」
ことを示していますので、n≦12だけを調べればよく
条件を満たすnはn=1,2,4,6だけと分かります。
No.30641 - 2015/02/11(Wed) 20:35:22
☆ Re: twitterで見つけた整数問題 / sakana
なるほど。そんな定理があるんですね。勉強になりました。
でも、そういった証明が難しそうな定理を使わずに、より初等的に解くことはできないのでしょうか？
No.30648 - 2015/02/12(Thu) 07:25:58
☆ Re: twitterで見つけた整数問題 / らすかる
指針だけですが

2^n-1はnが奇数のときは3で割り切れません。
nが偶数のときはn=2m・3^k（mは3で割り切れない数）とおいて
2^n-1が3^(k+1)で割り切れ3^(k+2)で割り切れないことを示せば
n=1：(分子)=a[1]・3^0、(分母)=b[1]・3^0
n=2：(分子)=a[2]・3^1、(分母)=b[2]・3^1
n=3：(分子)=a[3]・3^1、(分母)=b[3]・3^0
n=4：(分子)=a[4]・3^1、(分母)=b[4]・ 3^1
n=5：(分子)=a[5]・3^2、(分母)=b[5]・ 3^0
n=6：(分子)=a[6]・3^2、(分母)=b[6]・ 3^2
n=7：(分子)=a[7]・3^2、(分母)=b[7]・ 3^0
n=8：(分子)=a[8]・3^4、(分母)=b[8]・ 3^1
n=9：(分子)=a[9]・3^4、(分母)=b[9]・ 3^0
n=10：(分子)=a[10]・3^4、(分母)=b[10]・ 3^1
n=11：(分子)=a[11]・3^5、(分母)=b[11]・ 3^0
n=12：(分子)=a[12]・3^5、(分母)=b[12]・ 3^2
・・・
（a[n],b[n]は3で割り切れない数）
のようになり、分子の方が3の指数が速く増えますので、
3の指数が一致するn=1,2,4,6以外は答えになり得ないことが
わかると思います。

2^(2m・3^k)-1が3^(k+1)で割り切れ3^(k+2)で割り切れないことは、
2^(3a)-1=(2^a)^3-1
=(2^a-1){(2^a)^2+2^a+1}
となって(2^a)^2+2^a+1が3で割り切れ9で割り切れないことを使えば言えます。
No.30649 - 2015/02/12(Thu) 11:15:47