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記事No.30654に関するスレッドです
★ 三角比 / ゆう
下図の10番の問題が、どう考えてもわかりません。
どうにかして、1変数に落としたいのですが、分母が変数になってしまいます。
数学?Tの範囲で解説して頂けると幸いです。
No.30654 - 2015/02/12(Thu) 16:56:30
☆ Re: 三角比 / X
(sinθ+1)/(cosθ+√3)=k
cosθ=x,sinθ=y
と置くと
k=(y+1)/(x+√3) (A)
x^2+y^2=1 (B)
(A)(B)からyを消去して
x^2+{k(x+√3)-1}^2=1
整理して
(k^2+1)x^2-2(k-(k^2)√3)x+(1-k√3)^2-1=0 (C)
(C)が
-1≦x≦1
の範囲で少なくとも一つ実数解を持つような
kの値の範囲を求めることを考えます。
No.30655 - 2015/02/12(Thu) 17:12:09
☆ Re: 三角比 / ゆう
Cの1-k√3の部分がk-k^2√3だと思うのですが、
kの値の範囲の求め方がわかりません。
宜しければ途中式もお願いします。
No.30661 - 2015/02/12(Thu) 22:26:13
☆ Re: 三角比 / X
>>Cの1-k√3の部分がk-k^2√3だと思うのですが、
ごめんなさい。No.30655を修正しておきました。

それで続きですが
(C)をもう少し整理して
(k^2+1)x^2-2(k-(k^2)√3)x+3k^2-2k√3=0
そこで
g(x)=(k^2+1)x^2-2(k-(k^2)√3)x+3k^2-2k√3
とおいてy=g(x)のグラフとx軸との交点が
-1≦x≦1 (D)
の範囲に少なくとも一つ持つ条件を求めます。
(y=g(x)のグラフの対称軸と(D)との位置関係について
場合分けをしましょう。)
No.30663 - 2015/02/12(Thu) 23:14:56
☆ Re: 三角比 / ゆう
ありがとうございます。
大変恐縮ですが、もう少し詳しく教えて頂けないでしょうか。
すいません。
二次関数はわかるのですが、判別式、軸、端点など求め方がわかりません。
お願いします。
No.30666 - 2015/02/13(Fri) 17:27:14
☆ Re: 三角比 / X
y=g(x)のグラフの対称軸について以下のように
場合分けをします。
(i)(k-(k^2)√3)/(k^2+1)＜-1 (E) のとき
y=g(x)のグラフの対称軸は(D)の範囲外左側にあります
(グラフを描きましょう)ので、求める条件は
g(-1)=(k^2+1)+2(k-(k^2)√3)+3k^2-2k√3≦0 (F)
g(1)=(k^2+1)-2(k-(k^2)√3)+3k^2-2k√3≧0 (G)
(E)(F)(G)をkの連立不等式と見て解きます。

(F)(G)は整理するといずれもkの二次不等式になります。
kの係数に√が混じっているのでややこしそうに見えますが
丁寧に処理していきます。(F)だけやってみますので
参考にして下さい。
(F)より
(4-2√3)k^2+(2-2√3)k+1≦0 (F)'
ここで
4-2√3=(√3-1)^2 (F)"
ですので
{(√3-1)k}^2-2(√3-1)k+1≦0
{(√3-1)k-1}^2≦0
∴解は
k=1/(√3-1)=(√3+1)/2

注)
本来であれば(F)'を解くに当たり、
(4-2√3)k^2+(2-2√3)k+1=0
を解の公式を使って解くのがセオリーです。
((F)"であることは気付きにくいですので)
その場合、
k=(1-√3)±√{(1-√3)^2-(4-2√3)}
となるのですが、第二項は最悪でも二重根号を外す方針で
計算をしていきます。

(E)は(分母)≠0という条件を付けて両辺に(分母)^2を
かけるのがセオリーですが、この場合は
k^2+1＞0
であることから単に両辺にk^2+1をかけるだけで問題はなく
k-(k^2)√3＜-(k^2+1)
ということでこれも整理するとkの二次不等式になります。
(続く)
No.30681 - 2015/02/14(Sat) 03:04:26
☆ Re: 三角比 / X
(続き)
(ii)-1≦(k-(k^2)√3)/(k^2+1)≦1 (H)のとき
y=g(x)のグラフの対称軸は(D)の範囲内にあります
(グラフを描きましょう)。
よって(C)の解の判別式をDとして
D/4=(k-(k^2)√3)^2-(k^2+1){(1-k√3)^2-1}≧0 (I)
g(-1)=(k^2+1)+2(k-(k^2)√3)+3k^2-2k√3≧0 (J)
g(1)=(k^2+1)-2(k-(k^2)√3)+3k^2-2k√3≧0 (K)
としたとき、求める条件は
(H)かつ(I)かつ{(J)又は(K)}
となります。

不等式の計算方針は(i)のときと同じです。
但し、(H)は
-1≦(k-(k^2)√3)/(k^2+1)
(k-(k^2)√3)/(k^2+1)≦1
なる連立不等式として計算します。

(I)は計算が煩雑なようですので
こちらで解いておきます。
(I)より
(k^2)(1-k√3)^2-(k^2+1)(-k√3)(2-k√3)≧0
k{k(1-k√3)^2+(k^2+1)(2-k√3)√3}≧0
k{k(1-k√3)^2-(k^2+1)(3k-2√3)}≧0
{}内を展開して整理すると
k(-2k+2√3)≧0
k(k-√3)≦0
∴0≦k≦√3


(iii)1＜(k-(k^2)√3)/(k^2+1) (L)のとき
y=g(x)のグラフの対称軸は(D)の範囲外右側にあります
(グラフを描きましょう)ので、求める条件は
g(-1)=(k^2+1)+2(k-(k^2)√3)+3k^2-2k√3≧0 (M)
g(1)=(k^2+1)-2(k-(k^2)√3)+3k^2-2k√3≦0 (N)
(L)(M)(N)をkの連立不等式と見て解きます。
不等式の計算方針は(i)のときと同じです。
No.30682 - 2015/02/14(Sat) 03:32:34
☆ Re: 三角比 / ゆう
納得しました！
ありがとうごさいました。
No.30703 - 2015/02/15(Sun) 20:04:04