初めて質問させて頂きます<(_ _)>
A.以下の条件を満たす関数f(x,y)を示せ
(i)f(x,0)=f(0,y)=0
(ii)f(x,y)の直線x+y=k(kは定数)による断面はx=yの
点を頂点とする放物線である
(iii)f(x,x)=x^3
(ex)f(x,y)=xyは(i)(ii)を満たすが(iii)を満たさない
------------------------------------------------
はじめはf(x,y)=x^2*yやf(x,y)=x*y^2かと思ったんですが
(ii)の内容を満たすことを示すまでに至りません。
x+y=kの平面と答えになるf(x,y)の交点がでれば・・とは
思ったんですがうまくいきません。この問題はこの後に
-----------------------------------------------
B.条件(iii)をf(x,x)=x^n(n≧2)に一般化するとどうなるか
C.Bでn=1,n=0の場合はどうなるか、関数の定義域、
連続性なども含めて考察せよ
-----------------------------------------------
と続いてきます。
f(x,y)とx+y=kの交点はどうやってだせるんでしょうか、
もしくはそこから示すこと自体間違ってるんでしょうか？
お助け願います〜
|
No.3095 - 2008/10/08(Wed) 21:25:57
| ☆ Re: 解析・多変数関数・大学1年 / 黄桃 | | | 問題文が x+y や x-y(x=y)に関する条件ばかり述べているので「基底」をx,y ではなく x+y, x-y とすると簡単になります。
大学入試で時々X=x+y, Y=x-y と置換すると楽になる問題がありますが、それと同じです。変数変換しないでもこれを意識して変形すればできますが、計算が煩雑です。
f(x,y)=g(X,Y) として、fに関する条件をgに関する条件に書き換えます。
(i)f(x,0)=g(x,x)=0, f(0,y)=g(y,-y)=0
(ii)直線y=x は直線Y=0 に対応するから、g(k,Y)=0 は 直線Y=0 上に頂点をもつ放物線(aY^2+bという形)
(iii) f(x,x)=g(2x,0)=x^3ですから、g(X,0)=(X/2)^3
(ii)より、g(X,Y)をYについての関数として整理すれば、
g(X,Y)=a(X)Y^2+b(X)
とかける、ということがポイントです。
これがわかれば、あとは簡単でしょう。
答はf(x,y)=xy(x+y)/2です。
B,Cは、b(X)=X^n/2^n の時にa(X)がどうなるか、ということです。Bは同様に解け、CはX^2で簡単に割れないので X=0 での考察が必要になる、ということです。ちなみに答はn=1なら定義域はR^2全体だが、X=0上で連続にならない、n=0の場合はX=0で定義されない、です(x,yに戻すのはご自分で）。
＃蛇足ですが、積分とか微分とか面倒なことが絡むときはX=(1/√2)(x+y) Y=(1/√2)(x-y)と、ヤコビアンが1になるような変換が安全です。
元々のご質問にも簡単に触れておきます。
> f(x,y)とx+y=kの交点はどうやってだせるんでしょうか、
例えばy=k-x して、f(x,y)に代入した f(x,k-x)ですね。これがy=x すなわちx=k/2 で頂点をとる放物線ですから、ax(k-x)+bと書ける、ということになります。
|
No.3111 - 2008/10/09(Thu) 07:39:05 |
|
