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記事No.31185に関するスレッドです
★ 回転体 / Kaori-chan
画像と通りの問題です。

一応,といてみたのですが正しいか見ていただけないでしょうか・

(1) π∫[0..1](√x+3-(x^2+3))^2dx
(2) π∫[0..3](√3-x^3)^2dx,
(3) については回転軸がy軸になるようにx+y=3,2x+y=6を平行移動すると
x=-y+3-π,x=-y/2+6-π. そこで0≦y≦3と3≦y≦6との2つの部分に分けて求めると
π∫[0..3](-y/2+6-π-(-y+3-π))^2dy+π∫[3..6](π-(-y+3-π))^2dy.

(5) π∫[0..1](-2x+6-4x^2)^2dx,
(6) π∫[0..4](√(4-x)+1)^2dx-∫[3..4](-√(4-x)+1)^2dx-π∫[0..3](-x+3)^2dx
第一項で全体を求めてそれから第2項(火山の火口部分)を差し引いて,第三項で円錐部分を差し引く。

(7) x=y^2,y=x^2を平行移動してy=x^2+1,y=√x+1して,x軸を回転すればいいから.
π∫[0..1](√x+1-(x^2+1))^2dx

(8) (-2)^2π・4-1^2・π・1-π∫[1..4](-√x)^2dx
No.31185 - 2015/04/08(Wed) 11:19:20
☆ Re: 回転体 / X
(1)
立式に問題はありません。

(2)
間違えています。
領域を囲む曲線の一方は
y=√3
ではなくて
y=√x
です。
当然積分範囲も違ってきます。

(3)
回転させる直線の位置関係を間違えています。
回転軸に関して
x+y=3
は
2x+y=6
より上側にあります。

(4)
これは
底面が辺の長さaの正方形で高さがhである正四角錐の
体積が
(a^2)h/3
となることを示せ。
という問題です。

(5)
積分範囲を間違えています。問題の直線と
曲線の交点のx座標を計算し直しましょう。

(6)(7)(8)
立式に問題はありません。
No.31187 - 2015/04/08(Wed) 13:58:23
☆ Re: 回転体 / ヨッシー
(1) は２乗と３乗を取り違えています。
また、引いて２乗、ではなく２乗したもの同士で引く、です。
半径２の円盤から、半径１の円盤を繰り抜いた面積は
　π(2-1)^2＝π
ではなく
　π(2^2−1^2)＝３π
ですよね、という話です。
(2) も同様の間違いの可能性があります。
No.31189 - 2015/04/08(Wed) 14:08:59
☆ Re: 回転体 / X
>>ヨッシーさんへ
ご指摘ありがとうございます。

>>Kaori-chanさんへ
ごめんなさい。(1)(2)については、ヨッシーさんの
仰るとおり立式の仕方が誤っています。
又、(2)についてはNo.31187で述べたとおり、曲線の
方程式の認識にも誤りがあります。
No.31191 - 2015/04/08(Wed) 17:20:47
☆ Re: 回転体 / Kaori-chan
大変有難うございます。

(1)はπ∫[0..1](√x+3)^2-(x^3+3)^2dx.
(2)はπ∫[0..1](x^3)^2-(√x)^2dx
(3)はπ∫[0..3](-y+3-π)^2-(-y/2+6-π)^2dy+π∫[3..6](-π)^2-(-y/2+6-π)^2dy
(4)は∫[0..h](ax)^2dxを計算して見せればいいのですね。
(5)y=4x^2,2x^2+y=6の交点は2x+4x^2=6⇒2x^2+x-3=0⇒(2x+3)(x-1)=0だから,x=1,-3/2ですよね?
π∫[0..1](-2x+6)^2-(4x)^2dx
でいいのですね?
No.31194 - 2015/04/09(Thu) 04:28:12
☆ Re: 回転体 / X
(1)(3)はそれで問題ありません。

(2)
領域を囲む曲線の位置関係が逆になってしまっています。
グラフを描いて確かめましょう。

(4)
被積分関数を間違えています。
問題の正四角錐と相似な高さxの正四角錐の
底面の正方形の辺の長さは
ax/h
です。

(5)
＞＞y=4x^2,2x^2+y=6の交点は
が
y=4x^2,2x+y=6の交点は
のミスであることを除けば、交点のx座標の計算は
問題ありません。
しかし、それに伴った積分範囲の下端の修正が
されていません。


後、細かいことですが必要な括弧はきちんとつけましょう。
例えば(1)は
＞＞π∫[0..1](√x+3)^2-(x^3+3)^2dx
ではなくて
π∫[0..1]{(√x+3)^2-(x^3+3)^2}dx
です。
No.31201 - 2015/04/09(Thu) 12:47:46
☆ Re: 回転体 / Kaori-chan
どうも有難うございます。
ようやく解決できました＼(^o^)／
No.31204 - 2015/04/11(Sat) 07:15:50