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記事No.3119に関するスレッドです

立体図形の体積 / 黒うさぎ
質問
4点A(-π,0),B(π,0),C(π,π^2),D(-π,π^2)を頂点とする長方形上に放物線P:y=x^2(-π≦x≦π)が描かれている。この長方形ABCDを半径1、高さπ^2の直円柱Eの側面に巻きつける。ただし、辺ABはEの底面Fの周に巻きつくものとする。底面Fに平行な平面HとEの側面上の放物線Pとの交点をQ、Rとするとき、Hの変化に伴い線分QRはある曲面を作り、直円柱Eを2つの部分に分ける。このとき、それぞれの体積を求めなさい。

体積の問題なのに分けられる立体の形がうまく図にできなくてどういう形をしているのかがわかりません。この問題の解き方を教えてもらえないでしょうか。お願いします。

No.3113 - 2008/10/09(Thu) 08:10:50

Re: 立体図形の体積 / ヨッシー
円筒の底面の中心を原点、底面を含む面をxy座標、高さ方向をz軸とします。
また、xy平面を、極座標表現することにします。
もとの放物線 y=x2 において、
xの範囲が−π≦x≦π なので、円筒に巻き付けると、
xがθ、rは常に1、yはzに相当するので、もとの放物線上の点(x,x2)は、
(cosx, sinx, x2) に相当します。

ある高さz(0≦z≦π2)における点Q、Rの座標は、
(cos√z, sin√z, z), (cos√z, −sin√z, z) になります。

半径1の円を直線x=cos√z で切るとき、(1,0,π2) を含む立体の体積を求めます。
0≦z≦π2/4 のとき、
 半径1、中心角2√z の扇形から、2辺が1で、挟む角が2√z の二等辺三角形を引いたものが
 断面の面積となります。その面積は、
  √z−(1/2)sin(2√z)
π2/4≦z≦π2 のとき、
 半径1、中心角2√z の扇形に、2辺が1で、挟む角が(2π−2√z) の二等辺三角形を足したものが
 断面の面積となります。その面積は、
  √z+(1/2)sin(2π−2√z)=√z−(1/2)sin(2√z)
となり、zの範囲にかかわらず、断面積は√z−(1/2)sin(2√z) となります。
これを、0≦z≦π2 の範囲で積分して、
 V=∫0〜π2{√z−(1/2)sin(2√z)}dz
t=√z=z1/2 とおくと、
 dt/dz=1/2√z
より、dz=2tdt で、0≦z≦π2 は、0≦t≦π に相当するので、
 V=∫0〜π2t{t−(1/2)sin(2t)}dt=∫0〜π{2t2−tsin(2t)}dt
 V1=∫0〜π2t2dt=[(2/3)t3]0〜π=2π3/3
 V2=−∫0〜πtsin(2t)dt=∫0〜πt{(1/2)cos(2t)}’dt
  =[(t/2)cos(2t)]0〜π−∫0〜π(1/2)cos(2t)dt=π/2−[(1/4)sin(2t)]0〜π
  =π/2
よって、求める体積Vは、
 V=V1+V2=2π3/3+π/2
もう一方の体積は、円柱の体積が π3 なので、
 π3−V=π3/3−π/2

No.3119 - 2008/10/09(Thu) 11:43:47