ヨッシーの八方掲示板（小中高の算数・数学　質問掲示板）

★ 図形 / ピー

引用

図のようにAB=AC底辺と高さを1とする△ABCと
、この三角形に合同な三角形を並べて作られた平行四辺形ABSTに対角線BTをひく。この平行四辺形ABSTについて

(1)斜線のついた8個の三角形の周の長さの和を求めなさい
(2)斜線のないすべての部分の面積の和を求めなさい

答え
（１）【(9√5＋√85)/2】
(2) 5/2

考え方がわかりませんでした
よろしくおねがいします

No.315 - 2008/04/08(Tue) 22:12:33

☆ Re: 図形 / にょろ

引用

その画像に新たに点を入れてみました。
（赤いやつです）
ペイントでやったので場所がずれてるとかいわないで下さい…。

まず
(1)斜線のついた8個の三角形の周の長さの和を求めなさい
一つ一つやっていったら面倒くさいです。

ですが、少し考えると求める長さLはこうなります。

L=AB+AC+CD+DG+GE+EH+HF+FS+ST+BT
（求める部分をなぞれば分かると思います）
更に、BT以外は全部合同の三角形かつAB=ACだと言っているのだから

L=9AB+BT

です。
更にTU=1(高さ)
BC=1なので

AC^2=1^2+(1/2)^2

です。
よってAC=√5/2

次、BTは
BT^2=TU^2+BU^2

=(9/2)^2+1^2

よってBT=√85/2

これより
L=9AB+BT
=(9√5+√85)/2

(2)斜線のないすべての部分の面積の和を求めなさい

これはまず問題を読み替えます

(2)'平行四辺形の中で「斜線のついた三角形」以外の部分の面積を求めなさい

要するに平行四辺形から斜線のついた三角形の面積を引けと言ってるんです。

ところで平行四辺形なのだから
△ABT≡△STBです。

つまり、どちらかの三角形だけ考えて後で２倍しましょう。
（斜線部分も同じ事ですし）

まず、△BCJ∽△BSTです。
そして相似比は1:4です。
つまり、面積比は1:16です。
更に△BST=(1/2)*1*4=2です。

と言うわけで、△BCJ=1/8
です。

TS=1とすると
次、相似なのだからJC=1/4です。
（実際の長さと違います）

更に、AB=1です。

でここにもう一つ相似な三角形
△ABI∽△CJIが出てきます。

と言うわけでBI:JI=4:1です。
同様に斜線の引いてある三角形は全て相似です。
相似比は青字で書いてあります。

ここで、高さを共有する三角形の面積の比は底辺の比なのですから

△BCI:△ICJ=4:1

よって△ICJ=(1/8)*(1/5)=1/40

さて、
△IJC∽△KLG∽△MNH∽△OTS

で、相似比は図の通りです。

よって斜線の面積sは以下の通りに表せます。
s=△IJC+△KLG+△MNH+△OTS
=(1+2^2+3^2+4^2)/40=30/40=3/4

(綺麗な数字でちょっとびっくり)
と言うわけで、
白い部分の面積Sは、
S=2(△STB-s)
=2(2-3/4)
=2(5/4)
=5/2
(二倍したのは上の説明よりです)

以上です。

【補足】

KJ:KL=3:2の理由

JC=1/4ですから
DJ=3/4

EL:GL=1:1だから
（△BGL≡△TEL）

EL=2/4

と言うわけで、
△KJDと△KLGの相似比は、
3:2になります。

と書いてみましたし答えもあったので多分あってると思いますが、間違ってたらゴメンナサイ
あと、実際のJCの長さはTS/4つまり√5/8です。
見やすくするためTS=tと置くなどを省き1としました。