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記事No.31628に関するスレッドです
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(No Subject)
/ ao
引用
画像の問題の(1)の解き方を教えてください
よろしくお願いします
No.31589 - 2015/06/03(Wed) 21:45:13
☆
Re:
/ X
引用
Sを表面とする球の表面および内部をVとすると
ガウスの発散定理により
(与式)=∫∫∫[V]∇・(↑r/r^3)dxdydz
ここで
∇・(↑r/r^3)
={1/r^3-(3x/r^4)(∂r/∂x)}+y{1/r^3-(3y/r^4)(∂r/∂y)}+{1/r^3-(3z/r^4)(∂r/∂z)}
=3/r^3-(3/r^4){(x^2)/r+(y^2)/r+(z^2)/r}
=0
∴(与式)=0
となります。
No.31595 - 2015/06/03(Wed) 23:38:57
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Re:
/ ao
引用
∇・(↑r/r^3)
={1/r^3+(3x/r^4)(∂r/∂x)}+y{1/r^3+(3y/r^4)(∂r/∂y)}+{1/r^3+(3z/r^4)(∂r/∂z)}
なぜこのように式変形できるかわかりません
教えてください。よろしくお願いします
No.31608 - 2015/06/04(Thu) 15:39:31
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Re:
/ X
引用
↑r=(x,y,z)
ですので
∇・(↑r/r^3)=(∂/∂x)(x/r^3)+(∂/∂y)(y/r^3)+(∂/∂z)(z/r^3) (P)
ここで商の微分により
(∂/∂x)(x/r^3)={r^3+x・(3r^2)(∂r/∂x)}/r^6
=1/r^3+(3x/r^4)(∂r/∂x)
(P)の第二項、第三項も同様の変形をします。
No.31609 - 2015/06/04(Thu) 17:13:46
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Re:
/ ao
引用
(∂/∂x)(x/r^3)={r^3+x・(3r^2)(∂r/∂x)}/r^6
ではなく
(∂/∂x)(x/r^3)={r^3-x・(3r^2)(∂r/∂x)}/r^6
となり、プラスではなくマイナスになりませんか
No.31611 - 2015/06/04(Thu) 19:10:25
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Re:
/ X
引用
ごめんなさい。その通りですね。
No.31595を直接修正しましたので再度ご覧下さい。
No.31615 - 2015/06/04(Thu) 23:25:14
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Re:
/ ao
引用
ありがとうございます
(2)を画像のように解いて見たのですがあっていますか
No.31622 - 2015/06/05(Fri) 00:20:40
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Re:
/ X
引用
(∂^2/∂x^2)(1/r)
の計算を間違えていますね。
(∂^2/∂x^2)(1/r)=(∂/∂x){(∂/∂x)(1/r)}
=(∂/∂x){-x(x^2+y^2+z^2)^(-3/2)}
=-(x^2+y^2+z^2)^(-3/2)-x・{(-3/2)・2x}(x^2+y^2+z^2)^(-5/2)
=-(x^2+y^2+z^2)^(-3/2)+(3x^2)(x^2+y^2+z^2)^(-5/2)
=-1/r^3+(3x^2)/r^5
∴∇・↑E=(-1/r^3+(3x^2)/r^5)+(-1/r^3+(3y^2)/r^5)+(-1/r^3+(3z^2)/r^5)
=-3/r^3+3(x^2+y^2+z^2)/r^5
=0
∴…
となります。
No.31623 - 2015/06/05(Fri) 00:36:42
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Re:
/ ao
引用
確かに間違えていますね…
(3)を解いてみて画像のようになったのですがあっていますでしょうか
No.31628 - 2015/06/05(Fri) 10:06:59
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Re:
/ X
引用
3行目の変形が不十分です。
(∂/∂x)(f(r)x)=x∂f(r)/∂x+f(r)
=xf'(r)(∂r/∂x)+f(r)
=f'(r){(x^2)/r}+f(r)
となります。
これを使って、4行目以降を計算し直して
みましょう。
No.31630 - 2015/06/05(Fri) 13:57:34
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Re:
/ ao
引用
あっていますか
No.31631 - 2015/06/05(Fri) 14:17:12
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Re:
/ ao
引用
画像を添付し忘れていました
No.31632 - 2015/06/05(Fri) 14:17:58
☆
Re:
/ X
引用
計算そのものは間違っていませんが
最終行はまだ微分方程式のままですので
解いたことにはなりませんよ。
No.31634 - 2015/06/05(Fri) 16:15:22
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Re:
/ ao
引用
この続きはどうなりますかね？
No.31635 - 2015/06/05(Fri) 16:36:29
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Re:
/ X
引用
rf'(r)+3f(r)=0
を解くと
f(r)=D/r^3
(Dは任意定数)
そこで求める解を
f(r)=g(r)/r^3
とおいて問題の微分方程式に代入すると
g'(r)/r^2=k
これより
g(r)=(k/3)r^3+C
(Cは任意定数)
となるので求める解は
f(r)=k/3+C/r^3
(Cは任意定数)
(初期条件が与えられていないので
Cの値を定めることはできません。)
No.31645 - 2015/06/06(Sat) 11:11:46
☆
Re:
/ ao
引用
最後まで詳しく教えてくださりありがとうございます
理解することができました
No.31647 - 2015/06/06(Sat) 12:46:57
