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記事No.31673に関するスレッドです
★
内分点の作図
/ まゆ
引用
問題
∠ＸＯＹの内部にある点をＰとする。辺ＸＯ、辺ＹＯ上の点をそれぞれＡ，Ｂとする。このとき点Ｐが線分ＡＢの３：２の内分点となるように線分ＡＢを作図する。
よろしくお願いいたします。
No.31673 - 2015/06/08(Mon) 11:45:36
☆
Re: 内分点の作図
/ ヨッシー
引用
もっとスマートな方法があるかもしれませんが、
※手違いでＦが２個ありますが、文脈や図から判断して下さい。
また、途中の ＰＥ＝ＣＧ は ＰＦ＝ＣＧ の誤りです。
＜解説＞
ＡＰ：ＰＢ＝３：２ となる点Ａ，Ｂが描けたとし、
図のように、ａ，ｂ，ｃ，ｄ，ｘ，ｙを決めます。
メネラウスの定理より、
(y/x){(c-d)/d}{b/(a+b)}＝１ ・・・(1)
(2/3)(c/d)(b/a) ・・・(2)
(2) より ｄ：ｂ＝２ｃ：３ａ なので、
ｄ＝2kc、ｂ＝3ka
とおきます。
(1) に代入して
(y/x){(c-2kc)/2kc}{3ka/(a+3ka)}＝１
整理して
(y/x){(3-6k)/(2+6k)}
ｘ：ｙ＝(3-6k)：(2+6k)
これより
(x+y)/x＝５：３−６ｋ
ここで、
ｘ＋ｙ＝ＣＤ＝５
とすると、
ｘ＝３−６ｋ
であり、ｂ＝3ka であるので、３ｋ＝ｍ とすると、
ｘ＝３−２ｍ
ｂ＝ｍａ
となるので、上のような作図となります。
なお、等分する、平行線を引くなど基本的な作図は省略しました。
No.31676 - 2015/06/08(Mon) 17:08:09
☆
Re: 内分点の作図
/ まゆ
引用
詳細なご解説をして頂き、ありがとうございます。
助かりました。
No.31684 - 2015/06/09(Tue) 15:27:01
☆
Re: 内分点の作図
/ ヨッシー
引用
蛇足ながら、一般的に、ＡＰ：ＢＰ＝ｍ：ｎ となるような点Ａの取り方を調べてみました。
ＡＰ：ＰＢ＝ｍ：ｎ となる点Ａ，Ｂが描けたとし、
図のように、ａ，ｂ，ｃ，ｄ，ｘ，ｙを決めます。
メネラウスの定理より、
(y/x){(c-d)/d}{b/(a+b)}＝１ ・・・(1)
(n/m)(c/d)(b/a) ・・・(2)
(2) より ｄ：ｂ＝nc：ma なので、
ｄ＝knc、ｂ＝kma
とおきます。
(1) に代入して
(y/x){(c-knc)/knc}{kma/(a+kma)}＝１
整理して
(y/x){(m-kmn)/(n+kmn)}＝１
ｘ：ｙ＝(m-kmn)：(n+kmn)
これより
(x+y)/x＝(m+n)：(m−kmn)
ここで、
ｘ＋ｙ＝ＣＤ＝ｍ＋ｎ
とすると、
ｘ＝ｍ−kmn
であり、ｂ＝kma であるので、km＝ｔ とすると、
ｘ＝ｍ−ｔｎ
ｂ＝ｔａ
となるので、
ＣＤを(m+n)等分し、Ｃからｍ個目の点をＦ、１個目の点をＧとします。
ＰＦをｎ等分した長さをＣからＤ方向に取り、ＣＨとします。
Ｈを通って、ＯＧに平行な直線とＯＸの交点をＩとし、
ＣＡ＝ＣＩとなる点Ａを、Ｃから見てＩと反対側に取ります。
ＡＰとＯＹの交点がＢとなります。
図は、７：２に内分する場合の作図です。
No.31693 - 2015/06/10(Wed) 17:13:13
