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記事No.31903に関するスレッドです
★ 漸化式 / バスケット
解答解説お願いします。
No.31903 - 2015/06/23(Tue) 22:20:08
☆ Re: 漸化式 / X
(1)
(2)(前半)
これは問題で与えられている三項間漸化式を使う必要
がありますので、以下のような変則的な数学的帰納法
を使います。
(i)n=0,1のときの成立を示す。
(ii)k≧1として、n=k-1,kのときの成立を仮定したとき
n=k+1のときも成立することを示す。

(1)についてですがx^n、xの係数、定数項を順に
a[n],b[n],c[n]
と置くと解答がきれいになります。
(以下の(3)の解説に使いますので注意。)

(2)(後半)
(2)の前半の結果に
θ=kπ/{2(n+1)}
を代入します。

(3)
x[k]=(sinθ[k])^2
と置くと、(2)の結果により、x[k]はxの方程式
f[n](x)=0
の解。
このことと(1)の結果によりx^nの係数が(-4)^n
であることから
f[n](x)={(-4)^n}(x-x[1])(x-x[2])…(x-x[n])
となるので、これを展開してxの係数と定数項を
見てみると
b[n]={(-4)^n}Σ[k=1〜n](-x[1])(-x[2])…(-x[n])/(-x[k])
=(-4^n)Σ[k=1〜n]x[1]x[2]…x[n]/x[k]
c[n]={(-4)^n}(-x[1])(-x[2])…(-x[n])
=(4^n)x[1]x[2]…x[n]
よって(1)の結果から
Σ[k=1〜n]x[1]x[2]…x[n]/x[k]=(2/3)n(n+1)(n+2)/4^n
x[1]x[2]…x[n]=(n+1)/(4^n)
となるので
S[n]=Σ[k=1〜n]1/(sinθ[k])^2
=Σ[k=1〜n]1/x[k]
={1/(x[1]x[2]…x[n])}Σ[k=1〜n]x[1]x[2]…x[n]/x[k]
={(2/3)n(n+1)(n+2)/4^n}/{(n+1)/4^n}
=(2/3)n(n+2)

(4)
前半)
0＜θ＜π/2 (P)により
1/(sinθ)^2-1＜1/θ^2＜1/(sinθ)^2
⇔(sinθ)^2＜θ^2＜(tanθ)^2
⇔sinθ＜θ＜tanθ (Q)
そこで
g(θ)=θ-sinθ
h(θ)=tanθ-θ
と置いて(P)におけるg(θ),h(θ)の
増減表を書き、(Q)を示します。
後半)
前半の結果と(3)の結果を使って、問題の無限級数の
部分和に対して、はさみうちの原理が使えるような
不等式を導きます。
No.31921 - 2015/06/24(Wed) 19:03:01