この問題の解き方、考え方を教えてください！よろしくお願いしますm(_ _)m
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No.32096 - 2015/07/11(Sat) 17:56:55
| ☆ Re: 数列の質問です。 / ヨッシー  | | | (1)
b[n]＝An＋B とおきます。このとき、
b[n]＝(a[n]＋a[n+1])/2＝An＋B
b[n+1]＝(a[n+1]＋a[n+2])/2＝A(n+1)＋B
下式から上式を引いて
(a[n+2]−a[n])/2＝A
よって、
a[1], a[3], a[5], … a[2n-1], …
a[2], a[4], a[6], … a[2n], …
は、それぞれ、公差2Aの等差数列となります。
(2)
c[n]＝Cn＋D とおきます。このとき、
c[n]＝(a[n]＋a[n+1]＋a[n+2])/3＝Cn＋D
c[n+1]＝(a[n+1]＋a[n+2]＋a[n+3])/3＝C(n+1)＋D
下式から上式を引いて
(a[n+3]−a[n])/3＝C
よって、
a[1], a[4], a[7], … a[3n-2], …
a[2], a[5], a[8], … a[3n-1], …
a[3], a[6], a[9], … a[3n], …
は、それぞれ、公差3Cの等差数列になります。
ここで、(1) の結果より
a[2n]−a[2n-1]＝A＋α
a[2n+1]−a[2n]＝Ａ−α
とおくと、
a[2n]＝a[1]＋(2n-1)A＋α
a[2n+1]＝a[1]＋(2n)A
a[2n+2]＝a[1]＋(2n+1)A＋α
a[2n+3]＝a[1]＋(2n+2)A
a[2n+4]＝a[1]＋(2n+3)A＋α
となるので、
c[2n]＝(a[2n]＋a[2n+1]＋a[2n+2])/3＝(3a[1]＋(6n)Ａ＋２α)/3 ・・・(i)
c[2n+1]＝(a[2n+1]＋a[2n+2]＋a[2n+3])/3＝(3a[1]＋(6n+3)Ａ＋α)/3 ・・・(ii)
c[2n+2]＝(a[2n+2]＋a[2n+3]＋a[2n+4])/3＝(3a[1]＋(6n+6)Ａ＋２α)/3 ・・・(iii)
一方、c[n] は等差数列であるので、
c[2n+2]−c[2n+1]＝c[2n+1]−c[2n]
これに、(i),(ii),(iii) を代入して
Ａ＋α/3＝Ａ−α/3
よって、α＝０ が必要条件となり、逆に、α＝０ のとき、つまり a[n] が等差数列の時
a[n]＝En＋F
と書くと、
c[n]＝(n+1)E＋F
より、c[n] は等差数列となります
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No.32164 - 2015/07/15(Wed) 15:19:08 |
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