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記事No.32147に関するスレッドです
★ 微分 / なきうさぎ
（1）関数f(x)=x+1/e^xについて、y=f(x)の増減を調べて、グラをかけ。ただし、凹凸は調べなくてもよい。
（2）関数g(x)=ke^2x-xe^xが極大値と極小値をともにもつようなkの取りうる値の範囲を求めよ。
（3）k>0を考える。g(x)が最小値をもつならば、kは0<k<0.35を満たすことを示せ。ただし、自然対数の底eは、e>2.7とする。
どうぞよろしくお願いします。
No.32143 - 2015/07/14(Tue) 12:45:43
☆ Re: 微分 / X
(1)
f'(x)を求めてf(x)の増減表を書きます。
グラフは図のようになります。

注1)
f(x)=(x+1)/e^x
と解釈して回答をしています。
注2)
図の中で点A(0,1)は極大点です。
注3)
グラフを描くに当たり
lim[x→∞]f(x)=0
lim[x→-∞]f(x)=-∞
の証明が必要です。
No.32147 - 2015/07/14(Tue) 18:39:02
☆ Re: 微分 / X
(2)
g(x)=ke^(2x)-xe^x
と解釈して回答を。

g'(x)=ke^(2x)-e^x-xe^x
={k-(1+x)/e^x}e^(2x)
これと(1)の結果により、問題は
y=f(x)
y=k
のグラフが異なる二つの交点を持つような
kの値の範囲を求めることに帰着します。
ということで求めるkの値の範囲は
0＜k＜1

(3)
lim[x→∞](e^x)/x=∞ (A)
(証明は省略します)
に注意すると
lim[x→-∞]g(x)=lim[t→∞]{ke^(-2t)+te^(-t)}
(t=-xと置いた)
=0
更にk＞0により
lim[x→∞]g(x)=lim[x→∞]{(ke^x)/x-1}xe^x=∞
よってg(x)の最小値が存在するためには
(2)の条件の下でのg(x)の極小値が0以下
である必要があります。
ここで(2)の条件の下でのg'(x)=0の二つの解を
α、β(α＞β)
とすると、g'(α)=0から
k-(α+1)/e^α=0
∴ke^α-α=1
極小値がg(α)となることに注意すると
g(α)=(ke^α-α)e^α=e^α＞0
よってg(x)の極小値は最小値とはなりませんので
問題の命題は成立しません。
(問題文にタイプミスはありませんか？)
No.32148 - 2015/07/14(Tue) 19:16:12
☆ Re: 微分 / 黄桃
Xさんの g’(x)には2倍が抜けています。正しくは
g’(x)=2ke^(2x)-e^x-xe^x です。kの代わりに2k=Kとおけば、同じですから、答は 0<2k<1, つまり 0<k<1/2 です。

(3)もこれを考慮して考えれば、そのままの方針で解けます。
求める範囲は 0<k≦1/e であり、おそらく出題者が　1/e の計算を間違えています。ちなみに k=1/e(>0.35) の時、g(x)=e^(2x-1)-xe^x であり、x=1 で最小値0をとります。
No.32172 - 2015/07/15(Wed) 23:35:29
☆ Re: 微分 / X
>>黄桃さんへ
ご指摘ありがとうございます。

>>なきうさぎさんへ
ごめんなさい。黄桃さんのご指摘通り、計算を
間違っていました。
(2)については黄桃さんの解説そのままですので
(3)だけ回答を改めてアップしておきます。


lim[x→∞](e^x)/x=∞ (A)
(証明は省略します)
に注意すると
lim[x→-∞]g(x)=lim[t→∞]{ke^(-2t)+te^(-t)}
(t=-xと置いた)
=0
更にk＞0により
lim[x→∞]g(x)=lim[x→∞]{(ke^x)/x-1}xe^x=∞
よってg(x)の最小値が存在するためには
(2)の条件の下でのg(x)の極小値が0以下
である必要があります。
ここで(2)の条件の下でのg'(x)=0の二つの解を
α、β(α＞β)
とすると、g'(α)=0から
2k-(α+1)/e^α=0 (B)
極小値がg(α)となることに注意すると
g(α)={k-(k+1)/e^α}e^(2α)≦0 (C)
(C)より
k≦α/e^α (D)
これと(B)より
(α+1)/(2e^α)≦α/e^α
∴1≦α (E)
さて
h(α)=α/e^α
と置いて(E)におけるh(α)の増減を考えると
(h'(α)を求めて増減表を書きます)
0＜h(α)≦1/e (E)
(D)(E)と0＜kより
0＜k≦1/e
No.32175 - 2015/07/16(Thu) 08:39:14
☆ Re: 微分 / なきうさぎ
Xさん、黄桃さん、回答ありがとうございます。
ご指摘の通り、出題ミスで、（３）のkの範囲は0<k<0.38でした。
とてもよく理解できました。またよろしくお願いいたします。
No.32178 - 2015/07/16(Thu) 14:26:56