数学の質問です！（高校3年です！）
f(x)=x^2+ax+bで、任意の自然数nについて、f(x^n)がf(x)で割り切れるものをすべて求めよ。
との問題なのですが、解答の意味が全く分かりません。
ご教授お願いします。
![]() |
No.32409 - 2015/08/04(Tue) 14:31:26
| ☆ Re: / ヨッシー  | | | ２次方程式には複素数まで考えると、必ず２つ解があります。
重解も、２つの解がたまたま重なっているだけと考えます。
にも関わらず、２次方程式 f(x)＝0 の解として、
ｘ＝α、ｘ＝α^2、ｘ＝α^4
という３つの解が見つかったのですから、
「α^4 はαまたはα^2 と必ず一致します」。
よって、α^4＝α または α^4＝α^2 であり、これを解いたのが
α＝−１，０，１，ω，ω^2
です。これら５個のうち、２つ（重解の場合は１つ）が
f(x)＝0 の解となります。
ただし、ｘ＝ω が解なら ｘ＝ω^2 も解であり、
ｘ＝１ と ω
のような組み合わせはありません。
（これが解答中の「実数係数であるから」の意味で、実数係数でなければ、
実数と虚数の解もありえます）
よって、考えられる組み合わせは、
重解：(0,0)(1,1)(-1,-1)
異なる２実解：(0,1)(0,-1)(1,-1)
虚数解：(ω, ω^2)
の７通りです。そして、これらを解に持つ元の２次方程式は、それぞれ、
x^2＝0, (x−1)^2＝0, (x+1)^2＝0
x(x-1)＝0, x(x+1), x^2−1＝0
x^2＋x＋1＝0
です。
これらについて、f(x^n) が f(x) で割れるかを吟味しているのが、
下の３行ほどで、その結果はさらに２行ほど上に(適)(不適)と書かれています。
|
No.32417 - 2015/08/04(Tue) 15:40:57 |
|
