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記事No.32484に関するスレッドです
★ (No Subject) / 竹中（高二）
包絡線の求めかたの原理について、高校生のレベルで説明してもらえますか？
No.32465 - 2015/08/06(Thu) 16:00:58
☆ Re: / ヨッシー

図のように、多くの直線がある数式によって表されているとします。
大抵は、ｘとｙとさらにもう一つの変数(例えばａ)によって、
いろんな線が定義されています。

これらの線群をあるｘ座標ｘで切ると、ａの値によって、ｙは
いろんな値を取ります。
それらの中でｙ座標（ｙの値）が最大（向きによっては最小）のものを
求めます。

すると、ｘとｙ[最大値] の関係式が出来ます。

これが、包絡線の方程式となります。
No.32468 - 2015/08/06(Thu) 16:45:38
☆ Re: / 竹中（高二）
ありがとうございました。

それに関連して、もとの式と、それを媒介変数で微分した式、から媒介変数を消すようにして連立させると、包絡線の式ができる、というのはどういうことですか？
No.32470 - 2015/08/06(Thu) 18:20:57
☆ Re: / ヨッシー
何か実例とか例題はありますか？
No.32472 - 2015/08/06(Thu) 18:28:06
☆ Re: / 竹中（高二）
これです。（動く辺のうち左側）
No.32484 - 2015/08/06(Thu) 22:10:07
☆ Re: / ヨッシー
解いてみるとこんな感じになります。
ａで微分はしていますが、連立して消去はどこでしょう？
a=2(b+1)/3 を ｙ＝(b+1)a^2−a^3 に代入するところでしょうかね？

Ｐ(a,a^2) (0≦ａ≦1) とし、ｘ軸上の点Ｑ(a−1, 0) と Ｐを結んだ直線
　ｙ＝a^2x−a^3＋a^2　(0≦a≦1)
を考えます。ｘ座標ｂ(-1≦b≦1) においてこの線群を切ると、
　ｙ＝a^2b−a^3＋a^2
　ｙ＝(b+1)a^2−a^3
b を定数として、(0≦a≦1) における最大値を求めます
　dy/da＝2(b+1)a−3a^2
よって、a=0, a=2(b+1)/3 で dy/da＝0 となり、
-1≦b より、b=-1 のときは極値なし
-1＜b＜1/2 のとき a=0 で極小かつ最小、a=2(b+1)/3 で極大かつ最大
1/2≦b≦1 のとき a=0 で極小かつ最小、a=1 で最大　となります。
-1＜b＜1/2 のときのｙの最大値は
　ｙ＝(4/9)(b+1)^3−(8/27)(b+1)^3＝(4/27)(b+1)^3
よって、-1≦x≦1/2 の部分の包絡線は
　ｙ＝(4/27)(x+1)^3
となります。また、1/2≦ｘ≦1 では、ｙ＝ｘ が求める範囲の外周となります。

No.32489 - 2015/08/07(Fri) 09:01:59