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記事No.32586に関するスレッドです
★ (No Subject) / みんみん
(1)は分かりましたが(2)がわかりません
よろしくお願いします

答え(1)Q(1/3(t+1)^-2+t,0)
(2)f(t)=e^｛1-(t+1)^3｝(t≧0)
No.32586 - 2015/08/12(Wed) 18:24:55
☆ Re: / X
条件から時刻tのときの点Pにおける接線の方程式は
y=f'(t)(x-t)+f(t)
∴Qのx座標について
0=f'(t)(x-t)+f(t)
このxが(1)の結果のx座標に等しいので
0=f'(t){(1/{3(t+1)^2}+t)-t}+f(t)
これをf(t)についての微分方程式として
条件である
f(0)=1
の下で解きます。
(変数分離法を使いましょう)
No.32594 - 2015/08/12(Wed) 23:51:31
☆ Re / みんみん
f(t)についての微分方程式が青チャート参考にしながらチャレンジしましたが解けません
よろしければ計算過程も教えて頂けないでしょうか
No.32611 - 2015/08/13(Thu) 16:27:56
☆ Re: / X
0=f'(t){(1/{3(t+1)^2}+t)-t}+f(t) (A)
より
0=f'(t)/{3(t+1)^2}+f(t)
f'(t)/{3(t+1)^2}=-f(t)
f'(t)/f(t)=-3(t+1)^2
両辺をtで積分すると
log|f(t)|=-(t+1)^3+C[1]
(C[1]は任意定数)
対数と絶対値を外し、
±e^C[1]=C
と置くと
f(t)=Ce^{-(t+1)^3} (B)
一方f(t)=0は(A)の解の一つですが、
これは(B)でC=0の場合に当たりますので
結局(A)の一般解は
f(t)=Ce^{-(t+1)^3}
(Cは任意定数)
ここで
f(0)=1
により
C=e
よって
f(t)=e^{-(t+1)^3+1}
となります。
No.32612 - 2015/08/13(Thu) 18:05:01
☆ Re: / みんみん
X先生有難う御座いました！！
すごく丁寧に教えて頂きおかげで分かりました！

またよろしくお願いします
No.32615 - 2015/08/13(Thu) 19:20:08