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記事No.32688に関するスレッドです
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放物線
/ みんみん
引用
P1,P2のx座標を各々s,tと仮定してl1,l2,を出して計算していったら
わけがわからない方向に・・・
よろしくお願いします
No.32688 - 2015/08/19(Wed) 18:29:58
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Re: 放物線
/ みんみん
引用
あれこれでどうかな
No.32689 - 2015/08/19(Wed) 18:40:05
☆
Re: 放物線
/ X
引用
条件からl[1],l[2]は少なくともx軸平行ではないので
点F(p,0)を通ることと直交することを使うと
その方程式は
l[1]:x=ay+p (A)
l[2]:x=-y/a+p (B)
と置くことができます。
よってCとl[1]との交点(つまりP[1],P[2])
のy座標について
y^2=4p(ay+p)
整理して
y^2-4apy-4p^2=0 (C)
従って、P[1],P[2]のy座標をα[1],α[2]
とすると解と係数の関係から
α[1]+α[2]=4ap (D)
α[1]α[2]=-4p^2 (E)
またこのとき(A)より
P[1](aα[1]+p,α[1]),P[2](aα[2]+p,α[2])
となるので
P[1]P[2]^2={a(α[1]-α[2])}^2+(α[1]-α[2])^2
=(a^2+1)(α[1]-α[2])^2
=(a^2+1){(α[1]+α[2])^2-4α[1]α[2]}
=(a^2+1){(4ap)^2+16p^2}
=(16p^2)(a^2+1)^2
∴p＞0に注意して
P[1]P[2]=4p(a^2+1) (F)
更に(A)(B)の式の形の等価性から
Q[1]Q[2]
は(F)においてaの代わりに-1/aを代入したものになり
P[1]P[2]=4p{(-1/a)^2+1}
=4p(1/a^2+1) (G)
(F)(G)から
1/P[1]P[2]+1/Q[1]Q[2]=1/{4p(a^2+1)}+1/{4p(1/a^2+1)}
=1/(4p)
∴命題は成立します。
No.32691 - 2015/08/19(Wed) 20:15:25
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Re: 放物線
/ みんみん
引用
x先生御回答有難うございます！！
(A)(B)の方程式の置き方から大変勉強になりました
丁寧なご回答本当に有難うございました
画像のアップ失敗ですいませんでした
次からは書き込みにします
No.32692 - 2015/08/19(Wed) 23:27:50
