[ 掲示板に戻る ]
記事No.32851に関するスレッドです
★ (No Subject) / 水銀
まず問題、解答を丸写しします

実数ｂ、ｄ、αをとり、ｂ＞０、ｄ≧０とする。曲線Cを極方程式1/r=bcos(θーα）＋ｄ・・?@によって定める。
（１）ｄ＝０のとき直交座標（x,y座標）に関する方程式を求めよ
?@より１＝br(cosθcosα+sinθsinα）
x=rcosθ,y=rsinθより
（bcosα）ｘ＋（ｂsinα）ｙ−１＝０・・?A
（２）（１）の方程式を直線C'とする。ｄ＞０のとき曲線C上の点Pから直線C'へ垂線PHを下ろす。PHをｂ、ｄ、ｒを用いてあらわす時PH/OPを求めよ。

?@上の点Pはｘ、ｙ座標でP(rcosθ、rsinθ）と表されるので
PH=ｌ（bcosα）ｘ＋（ｂsinα）ｙ−１ｌ/b
と続くのですがこの式って?Aより分母が０になってPH=０
になっちゃいますよね？でも解答はd/pが答えなのです。なにがいけないのでしょうか。答案をどう修正したらよいのでしょうか。よろしくおねがいします
No.32813 - 2015/08/28(Fri) 20:57:34
☆ Re: / X
＞＞この式って〜PH=０になっちゃいますよね？
なりません。
PHを点と直線の距離の公式で求める場合、用いる
x,yの値は(C'上にはない)点Pのx座標、y座標の値
だからです。
No.32847 - 2015/08/30(Sun) 09:07:55
☆ Re: / 水銀
ありがとうございます。まだよく分かりません、より詳しくお願いできないでしょうか。途中で解答が間違っている、あるいはより分かりやすく書ける、のならば訂正をお願いします。

（bcosα）ｘ＋（ｂsinα）ｙ−１＝０・・?Aが成り立っています。そして
PH=ｌ（bcosα）ｘ＋（ｂsinα）ｙ−１ｌ/bがなりたっています。この式の分母に?Aを代入すると、PH=0/b=0になります
No.32848 - 2015/08/30(Sun) 10:30:03
☆ Re: / X
なまじ同じx,yという文字を使っているので
勘違いしておられると思いますが
>>PH=ｌ（bcosα）ｘ＋（ｂsinα）ｙ−１ｌ/b
における点(x,y)は点P(つまりC上の点)
の座標のことです。よって
(x,y)=(rcosθ,rsinθ)
とすると、成立しているのは式(1)であって
式(2)(つまりC'の方程式)ではありません。
(式(2)は式(1)においてd=0の場合に成り立つ式です。
それに対し、ここでの点Pに対する条件は
d＞0
です。)
No.32850 - 2015/08/30(Sun) 14:49:42
☆ Re: / X
参考までに図を載せておきます。
No.32851 - 2015/08/30(Sun) 15:19:57
☆ Re: / 水銀
ありがとうございます。P(X,Y)などと（ｘ、ｙ）以外の表記で表すこと事で理解できました。

しかし、となると解答においてｄ＝０のときもｄ＞０のときもｘ＝ｒcosθ、ｙ＝ｒsinθと置いてるのはｄ＝０とｄ＞０の曲線が完全に一致してしまうことになりますからやっぱりおかしいようですね

以下に答案を解説調に作りました、問題ありますでしょうか

実数ｂ、ｄ、αをとり、ｂ＞０、ｄ≧０とする。曲線Cを極方程式1/r=bcos(θーα）＋ｄ・・?@によって定める。
（１）ｄ＝０のとき直交座標（x,y座標）に関する方程式を求めよ
（２）（１）の方程式を直線C'とする。ｄ＞０のとき曲線C上の点Pから直線C'へ垂線PHを下ろす。PHをｂ、ｄ、ｒを用いてあらわす時PH/OPを求めよ。

（１）ｄ＝０のときのｒをｒ’、θをθ’とすると
?@⇔１/r'=bcos(θ'-α)
d=0のときの曲線C上の点（ｘ、ｙ）は
x=r'cosθ',y=r'sinθ'とおけるので
１＝br'(cosθ’cosα+sinθ’sinα）
に代入して
（bcosα）ｘ＋（ｂsinα）ｙ−１＝０・・?A
（２）ｄ＞０のときのｒをR、θをφとすると
?@⇔１/R=bcos(φ-α)＋ｄ・・?B
ｄ＞０のときのC上の点をP(X,Y)とおくと
X=Rcosφ、Y=Rsinφとおける
よって
PH=ｌ（bcosα）X＋（ｂsinα）Y−１ｌ/b
＝ｌ（bcosα）Rcosφ＋（ｂsinα）Rsinφ−１ｌ/b
＝ｌbRcos（φーα）-1ｌ/b
?Bを代入してPH=dlRl/b
OP=RよりR>0よってPH/OP=d/b

(3)(2)で求めたPH/OPはｒ、θによらない一定の値をとる。このことから、曲線Cが放物線であるとき、ｂの値を求めよ。
答え）ｂ＝ｄ　なのですがこれはどのようにしてｄなのでしょうか？　以上２点よろしくお願いします。
No.32852 - 2015/08/30(Sun) 16:22:09
☆ Re: / X
(1)(2)の解答についてはそれで問題ありません。

(3)について。
これは問題文で条件が不足していますね。
曲線Cが
「C'を準線、Oを焦点とする」放物線
であるためには
OP=PH
これと(2)の結果から
d/b=1
∴b=d
となります。
No.32853 - 2015/08/30(Sun) 16:59:47
☆ Re: / 水銀
回答ありがとうございます。今まで極方程式ときたらｘ＝rcosθ、ｙ＝ｒsinθとしか置いた事がなく、今回初めての試みだったので不安がありましたが、添削していただいた事でその不安をぬぐうことができました。

（３）についてですが、確かに問題文の写し間違いはなく、解答を丸写ししますと「（３）PH=OPのとき、曲線C上の任意の点Pは、定直線C'と原点Oから等距離にある。よって、曲線Cは、原点Oを焦点とし、直線C'を準線とする放物線となるのでｂ＝ｄ」
とありますが、それでもやはり問題文の「C'を準線、Oを焦点とする」放物線という記述は必要ですか？

「C'を準線、Oを焦点とする」が抜けているとどういう不都合が考えられるのでしょうか？

よろしくおねがいします
No.32854 - 2015/08/30(Sun) 18:48:27
☆ Re: / X
ごめんなさい。問題文に「C'を準線、Oを焦点とする」
は不要です。

(3)を見たとき、すぐに
PH=OP
となる場合を使うことは
分かったのですが、その
場合、気になったのは
確かに
PH=OP⇒Cは放物線
は成立しますが、逆に
Cは放物線⇒PH=OP (P)
は成立するか？
(つまり点P,直線C'以外の
Cの焦点、準線が存在しないのか？)
ということでした。
その意味で「C'を準線、Oを焦点とする」が
問題文に必要ではないか、と考えたのですが
不要でした。

結論から言うと(P)は成立します。
(P)の対偶は
PH≠OP⇒Cは放物線ではない
ですが
(i)PH＞OPのとき
(ii)PH＜OPのとき
に場合分けして考えると
(i)の場合、Cは楕円 (Q)
(ii)の場合、Cは双曲線 (R)
となり、いずれの場合も
Cは放物線ではないことが分かります。

只この場合、(Q)(R)の証明が
必要になるのでは、という疑問が新たに
沸くことになる訳ですが、この問題だけでは
何ともいえません。
No.32856 - 2015/08/30(Sun) 20:13:42
☆ Re: / 水銀
回答ありがとうございます。
証明は理解できたのですが、
そもそもPH/OP（離心率の逆数）が一定の値を取ったら、O以外の点をFとするとPH/FPは一定になることはないのでしょうか？

PH/OP=1を先に決めるとPH/FP≠１でしょうけど
PH/FP=1が先に決まるとPH/OP≠１ではなくなりますよね、そもそも。

よろしくおねがいします
No.32859 - 2015/08/30(Sun) 23:48:05
☆ Re: / 水銀
どなたか分かる方よろしくお願いします
No.32882 - 2015/09/02(Wed) 00:25:25