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記事No.33067に関するスレッドです
★ 無限等比級数の収束、その時の和について / ぽむ
画像の数式が収束するxの範囲、またそのときの和を求めなさい。
という問題なのですが、いまいちわかりません。
収束条件は初項a=0または|r|<1 かつa≠0 ということはわかるのですが、これをこの数式にどのように利用するかわかりません。

どなたか私にご教示お願いします
No.33067 - 2015/09/17(Thu) 17:06:36
☆ Re: 無限等比級数の収束、その時の和について / X
(i)x=0のとき
問題の無限級数は0に収束します。
(ii)x≠0のとき
問題の無限級数の部分和をS[n]とすると
S[n]=Σ[k=1〜n]{(2x)^(2k-1)+(4x)^(2k)}
よって
(I)x=1/2のとき
S[n]=Σ[k=1〜n]{1+2^(2k)}
=Σ[k=1〜n]{1+4・4^(k-1)}
=…
となり発散します。
(S[n]の計算はご自分でどうぞ。)
(II)x=1/4のとき
S[n]=Σ[k=1〜n]{1+(1/2)^(2k-1)}
=Σ[k=1〜n]{1+(1/2)(1/4)^(k-1)}
=…
となり発散します。
(S[n]の計算はご自分でどうぞ。)

(III)x≠1/2かつx≠1/4のとき
S[n]=Σ[k=1〜n]{(2x)(4x^2)^(k-1)+(16x^2)(16x^2)^(k-1)}
=(2x){1-(4x^2)^n}/(1-4x^2)+(16x^2){1-(16x^2)^n}/(1-16x^2) (A)
(A)の第一項の分子の4x^2,第二項の分子の16x^2の値について
更に場合分けすると…
(4x^2＜16x^2に注意しましょう)
No.33069 - 2015/09/17(Thu) 17:44:23
☆ Re: 無限等比級数の収束、その時の和について / ぽむ
Xさん、回答ありがとうございます。
そのように場合分けするとは思いもよりませんでした。
質問なのですが、(A)をどのように場合分けしたら良いのでしょうか？極めて初歩的な質問申し訳ありません。
No.33070 - 2015/09/17(Thu) 18:21:29
☆ Re: 無限等比級数の収束、その時の和について / X
0＜4x^2＜16x^2
に注意して
(1)16x^2＜1のとき
(2)1＜16x^2のとき
で更に場合分けすると
(1)のときは収束し
(2)のときは発散します。
No.33071 - 2015/09/17(Thu) 19:12:15
☆ Re: 無限等比級数の収束、その時の和について / ぽむ
丁寧な回答作りをありがとうございました。
非常に納得することが出来ました。
宜しければ、今後も回答してくださるとありがたいです。
この度は貴重な時間をありがとうございました。
No.33072 - 2015/09/17(Thu) 20:19:15