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記事No.33159に関するスレッドです
★ (No Subject) / アカシロトモ
問題　a(n)=(n)√n(n=1,2,3,・・・）の最大値・最小値を求めよ.
　a(n)は数列の一般項、(n)√nはn^(1/n)の意味です.
いつもお世話になりますがよろしくおねがいします.
微分法の問題として出題されています.
No.33104 - 2015/09/20(Sun) 21:26:10
☆ Re: / X
問題の{a[n]}のnを実数に拡張するようなイメージで
まず
f(x)=x^(1/x)
と置き、x≧1におけるy=f(x)の
グラフを描くことを考えましょう。

方針としては微分して増減表、と
なるのですが、その後にグラフを
描く際に問題となるのが
lim[x→∞]f(x)
の値の計算です。
これを計算するため
lim[x→∞]logf(x)
(=lim[x→∞](logx)/x)
をはさみうちの原理を使って
求める必要がありますが、
どのような関数ではさみうつ
のかは少し考えてみて下さい。
ヒントは
y=e^x,y=x^2
のグラフの位置関係
と
逆関数の考え方
です。
No.33106 - 2015/09/20(Sun) 21:38:21
☆ Re: / アカシロトモ
X　さん　早速ありがとうございます.
できるかどうかわかりませんが、トライしてみます。
No.33107 - 2015/09/20(Sun) 21:42:22
☆ Re: / Halt0
本問の場合は増減表だけかければ lim_[x→∞]f(x) は求めなくても差し支えないのではないでしょうか。>Xさん
No.33119 - 2015/09/21(Mon) 09:56:19
☆ Re: / X
＞＞Halt0さんへ
計算するとa[n]の最小値は
a[1]=1
となることが分かりますが、このことを示すには
f(x)＞1 (x＞1)
を示す必要がありますので
lim[x→∞]f(x)
の計算は必要です。
No.33120 - 2015/09/21(Mon) 10:39:38
☆ Re: / Halt0
＞Xさん
すみません, 先入観で最大値のみを求める問題だと勘違いしておりました……. 大変失礼致しました.
一応 a>1 のとき a^t は t について単調増加であることを利用して x>1 のとき f(x)=x^(1/x)>x^0=1 とする手もありますね.
No.33121 - 2015/09/21(Mon) 11:14:23
☆ Re: / アカシロトモ
昨日から考えていましたが、私にはy'=0よりx=e,
0<x<eでy'>0,e<xでy'<0が限界のようです.
この後を教えていただけないでしょか.いつもご迷惑おかけします.
No.33133 - 2015/09/21(Mon) 20:58:09
☆ Re: / X
そこまででf(x)の最大値は
f(e)=e^(1/e)
であることが分かりますので
2＜e＜3
により{a[n]}の最大値は
a[2]=√2
a[3]=3^(1/3)
のうちの大きい方になります。
ということで
a[2]とa[3]の大小比較をして
(これはご自分でもう少し考えて
みて下さい)
{a[n]}の最大値は
a[3]=3^(1/3)
となります。

又
f(1)=1 (A)
であり
lim[x→∞]f(x)=1 (B)
ですのでf(x)の最小値は
(A)
∴{a[n]}の最小値は
a[1]=1
となります。
No.33157 - 2015/09/22(Tue) 08:25:52
☆ Re: / X
(B)の(∵)
(B)
⇔lim[x→∞]logf(x)=0 (B)'
∴(B)'、つまり
lim[x→∞](logx)/x=0
を証明します。
まずx→∞を考えるので
x≧1
としてもよく、このとき
g(x)=√x-logx
とすると
g'(x)=1/(2√x)-1/x
=(2√x-1)/(2x)＞0
によりg(x)は単調増加
∴g(x)≧g(1)=1＞0
となるので
logx＜√x
よって
0＜(logx)/x＜1/√x
となるので、はさみうちの原理
より(B)'は成立します。



注)
このことはx≧1において
y=√xのグラフが
y=logxのグラフの
上側にあることが分かります。
しかし、これらの位置関係は
分かりにくいのでこれらの
逆関数である
y=x^2のグラフと
y=e^xのグラフの位置関係を
先に考えることをヒントと
して出しました。
No.33158 - 2015/09/22(Tue) 08:50:30
☆ Re: / X
参考までにy=x^(1/x)のグラフを
アップしておきます。
(但し、特徴を強調するため
意図的にx軸、y軸の比率を
変えているので注意して
下さい。)
No.33159 - 2015/09/22(Tue) 09:23:00
☆ Re: / アカシロトモ
Xさん

何回もしかも詳細な解説ありがとうございました.
力がなくていつもご迷惑おかけしております.
本当にとても助かりました.
No.33161 - 2015/09/22(Tue) 10:54:18