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記事No.33248に関するスレッドです
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図形と数列の融合 名古屋大学
/ ぷっぽ
引用
高校三年生です。問題がまず理解できません。nの値が大きくなる毎にどのような図になるのかが理解できません。こういう理由で問題にすら手をつけられない状況です。解説を読みましたが、よく分かりません。解説お願いします。
No.33247 - 2015/09/26(Sat) 07:50:20
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Re: 図形と数列の融合 名古屋大学
/ ぷっぽ
引用
画像を載せ忘れました、こちらの問題です
No.33248 - 2015/09/26(Sat) 07:54:35
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Re: 図形と数列の融合 名古屋大学
/ ぷっぽ
引用
解説になります。
No.33249 - 2015/09/26(Sat) 07:56:24
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Re: 図形と数列の融合 名古屋大学
/ ぷっぽ
引用
解説の続きです。
No.33250 - 2015/09/26(Sat) 07:57:14
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Re: 図形と数列の融合 名古屋大学
/ ヨッシー
引用
同じような解説になりますが、
(1)
Ｃnの中心をＯnとします。
Ｏ0(0,1/2)、Ｏn(ａn, ｂn) において
Ｏ0Ｏn＝ｂn＋1/2 より
ａn^2＋(ｂn−1/2)^2＝(ｂn＋1/2)^2
整理して
ｂn＝ａn^2/２
(2)
Ｏ[n-1](ａ[n-1], ｂ[n-1])、Ｏn(ａn, ｂn) において
Ｏ[n-1]Ｏn＝ｂn＋ｂ[n-1] より
(ａn−ａ[n-1])^2＋(ｂn−ｂ[n-1])^2＝(ｂn＋ｂ[n-1])^2
整理して
(ａn−ａ[n-1])^2＝４ｂnｂ[n-1]
(1) の結果を代入して
(ａn−ａ[n-1])^2−ａn^2ａ[n-1]^2＝０
(ａn−ａ[n-1]−ａnａ[n-1])(ａn−ａ[n-1]＋ａnａ[n-1])＝０
よって、
ａn＝ａ[n-1]/(1±ａ[n-1])
となりますが、ａ[n] は単調減少なので、
ａn＝ａ[n-1]/(1＋ａ[n-1])
ａ1＝１，ａ2＝1/2，ａ3＝1/3 より ａn＝1/n と推測できる
ｎ＝１ のときは ａ1＝1/1＝１ より成立
ｎ＝ｋ のとき ａk＝1/k であるとき
ａ[k+1]＝(1/k)/(1＋1/k)＝1/(k+1)
よって、任意の自然数ｎについて ａn＝1/n
No.33255 - 2015/09/26(Sat) 08:37:22
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Re: 図形と数列の融合 名古屋大学
/ ぷっぽ
引用
よっしーさんありがとうございました！
図を画像にして表してくれたので理解することができました！受験期のため今後も質問することがあると思います。お時間ありましたらまたよろしくお願いします。
No.33261 - 2015/09/26(Sat) 17:31:56
