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記事No.33365に関するスレッドです
★ 複素数平面の問題 / ダル
いつも複素数平面の問題はベクトルのようにつかって解いています。どのようにすればこの問題とけますか？(できればベクトルのようにやる方法教えてください。
No.33358 - 2015/10/02(Fri) 10:48:59
☆ Re: 複素数平面の問題 / ヨッシー
このあと、図が載るのでしょうか？

お待ちしてます。
No.33360 - 2015/10/02(Fri) 17:08:15
☆ Re: 複素数平面の問題 / ダル
忘れてましたorz
No.33361 - 2015/10/02(Fri) 20:14:30
☆ Re: 複素数平面の問題 / IT
「４つの辺の長さがすべて等しい」という「ひし形の条件（定義）」をa,zの式で表せば出来ると思います。

(流れ）
・|z|=1となるので、z,z^2,z^3は単位円上にある。
・実数aはzとz^3から等距離にあるのでzとz^3を結ぶ弦の垂直二等分線上にある。
・zとz^3が実軸に関して対称な位置にある場合と、そうでない場合に分けてaとz^2の位置を考える
（zとz^3が実軸に関して対称な位置にある ⇔ zとz^3を結ぶ弦の垂直二等分線は実軸）
No.33362 - 2015/10/02(Fri) 22:50:02
☆ Re: 複素数平面の問題 / ダル
一様やって見ましたが、答えが違います。どうすればいいですか？
(複素数の解がでない。)
あと直角条件とかでもいけますか？
(ベクトルっぽくいきたいので。)
No.33365 - 2015/10/03(Sat) 13:54:34
☆ Re: 複素数平面の問題 / IT
基礎的なミスは
(イ)で両辺を２乗したとき、絶対値記号を外すのは、間違いです。
＃実数のときと、複素数のときで確認してみてください
　|a|=|b|,|z|=|w|

２乗せず、絶対値記号の中を因数分解すると整理できると思います。
No.33366 - 2015/10/03(Sat) 14:09:44
☆ Re: 複素数平面の問題 / ダル
計算過程がわかりません。
No.33369 - 2015/10/03(Sat) 16:25:45
☆ Re: 複素数平面の問題 / IT
２乗は不要です。ていねいに書くと
|z^2-z|=|z^3-z^2|
|z(z-1)|=|(z^2)(z-1)|
|z||z-1|=|z||z||z-1|
移項して
|z||z-1|-|z||z||z-1|=0
|z||z-1|(1-|z|)=0
z≠0,1なので|z|=1かつz≠1

z=0,1のとき題意を満たさないことを確認してください。
No.33372 - 2015/10/03(Sat) 18:09:20
☆ Re: 複素数平面の問題 / IT
ダルさんの最後の式はまちがっています。
正しくは　　|z|^4 - (|z|^2-1)(z+z~) = 1
整理すると　(|z|^2-1)|z-1|^2 = 0 となります。
No.33373 - 2015/10/03(Sat) 18:23:23
☆ Re: 複素数平面の問題 / IT
性質としての?Aを使ってもいいですが、
「ひし形の条件（定義）」は「４つの辺の長さがすべて等しい」ですから、
単に　|z^2-z|=|z^3-z^2|=|z^3-a|=|z-a|≠0 だけでいいと思います。
No.33374 - 2015/10/03(Sat) 18:29:48
☆ Re: 複素数平面 / ダル
|z||z-1|-|z||z||z-1|=0
|z||z-1|(1-|z|)=0
z≠0,1なので|z|=1かつz≠1
これがよくわかりません。
zとz^2とz^3が一致する時、ひし形にならないため、z=1,-1,0でないことはわかります。そのため|z|=0,|z-1|=0となる複素数zはz=0.1のみなので不適。
よって等式を満たすのは、(1-|z|)=0であるため|z|=1 -❶がみたされる条件である。
ここから微妙です。
zが実数であれば、❶は不適になります。しかしzがふくそすうなのでz=i,-iがなどが満たされるということでしょうか？？
複素数て難しいです。
No.33415 - 2015/10/04(Sun) 21:20:40
☆ Re: 複素数平面の問題 / IT
> zとz^2とz^3が一致する時、ひし形にならないため、z=1,-1,0でないことはわかります。そのため|z|=0,|z-1|=0となる複素数zはz=0.1のみなので不適。
> よって等式を満たすのは、(1-|z|)=0であるため|z|=1 -❶がみたされる条件である。
|z|=1は必要条件です。

> ここから微妙です。
最初に示した(流れ）に沿って考えてみてください。
・|z|=1となるので、z,z^2,z^3は単位円上にある。
今ここまで言えたわけです。

・実数aはzとz^3から等距離にあるのでzとz^3を結ぶ弦の垂直二等分線上にある。
・zとz^3が実軸に関して対称な位置にある場合と、そうでない場合に分けてaとz^2の位置を考える
（zとz^3が実軸に関して対称な位置にある ⇔ zとz^3を結ぶ弦の垂直二等分線は実軸）
No.33434 - 2015/10/05(Mon) 18:43:01