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記事No.33476に関するスレッドです
★ (No Subject) / 電王
高校数学を勉強し直している社会人です。息子がどこからか持ってきた数学の問題が全然解けません（解答もないとのこと）。どうやって解くか分かりやすく解説してもらえると助かります。問題を添付します。よろしくお願いします。
No.33476 - 2015/10/07(Wed) 11:44:39
☆ Re: / ヨッシー
(1)
x^a・y^b＝α　をｃ乗して
　x^(ac)・y^(bc)＝α^c　・・・(i)
x^c・y^d＝β　をａ乗して
　x^(ac)・y^(ad)＝β^a　・・・(ii)
(i) の両辺とも正の数であるので、(ii) を (i) で割って、
　y^(ad-bc)＝β^a・α^(-c)
よって、
　ｙ＝{β^a・α^(-c)}^(1/(ad-bc))
同様に、
　ｘ＝{α^d・β^(-b)}^(1/(ad-bc))

ad-bc=0 であるとき
(ii) は
　x^(ac)・y^(bc)＝β^a
と書けるので、(i) と比較して、
　α^c≠β^a
の時は、ｘ、ｙの解は存在せず
　α^c＝β^a
の時は、
　ｙ＝{α^c/ｘ^(ac)}^(1/bc)
を満たす（ｘ，ｙ）の組が無数に存在します。
よって、(x,y) の組がただ１組存在するのは
ad-bc≠0 の時に限ります。

(2)
ad-bc＞0 のとき
(1) の結果より
　ｘ＝{ｐ^d・ｑ^(-b)}^(1/(ad-bc))＝p^{d/(ad-bc)}/q^{b/(ad-bc)}
　ｙ＝{ｑ^a・ｐ^(-c)}^(1/(ad-bc))＝q^{a/(ad-bc)}/p^{c/(ad-bc)}
が、自然数となるためには、
ｂ＝ｃ＝０ かつ d/(ad-bc) および a/(ad-bc) が０以上の整数
つまり、1/a および 1/d が０以上の整数
よって、ａ＝ｄ＝１

ad-bc＜0 のとき
同様に、ａ＝ｄ＝０ かつ ｂ＝ｃ＝１

ad-bc＝0 のとき
(1) の内容より
　x^(ac)・y^(bc)＝ｐ^c　・・・(i)'
　x^(ac)・y^(bc)＝ｑ^a　・・・(ii)'
において、ｐとｑは相異なる素数であるので、p^c＝q^a となるのは、
ａ＝ｃ＝０ のとき。このとき、(**)は
　y^b＝p, y^d＝q
となり、ｐ，ｑは素数なので、ｂ＝ｄ＝１ が必要ですが、そのとき
　ｙ＝ｐ＝ｑ
となり、ｐ≠ｑ に矛盾する。

以上より、
ｂ＝ｃ＝０　かつ　ａ＝ｄ＝１　または
ｂ＝ｃ＝１　かつ　ａ＝ｄ＝０
No.33478 - 2015/10/07(Wed) 15:32:10