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記事No.33674に関するスレッドです
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数学?V
/ ぽん
引用
102の問題ですが（I）からわかりません…
どなたか教えてください！
No.33670 - 2015/10/19(Mon) 17:46:31
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Re: 数学?V
/ ぽん
引用
写真、縦向きに撮ったのに横向きになっています…
見づらくてごめんなさい！
No.33671 - 2015/10/19(Mon) 17:47:52
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Re: 数学?V
/ X
引用
(1)
下の図において長方形ABEDと図形ABCDの
面積を比較してみましょう
(2)
(1)の結果のk=1〜nの和を取ります。
(3)
(2)の結果のn→∞の極限を考えます。
No.33674 - 2015/10/19(Mon) 18:24:37
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Re: 数学?V
/ ぽん
引用
すいません…
102を教えて欲しいのですが…
それは101ですか？
紛らわしい画像でごめんなさい！
No.33675 - 2015/10/19(Mon) 19:49:27
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Re: 数学?V
/ IT
引用
(1)がノーヒントで分らないと(2)は困難かと思います。
y=log(x)のグラフを描いて考えてみてください。
(2)
少し逆に迎えに行くと
(A)----------------------------------------------------
x＞0でlog(x)は狭義単調増加なので
(n^n)e^(-n)<n!<{(n+1)^(n+1)}e^(-n)の各辺のlogをとった不等式を示せばよい.
すなわちnlog(n)-n＜log(n!)＜(n+1)log(n+1)-n
nlog(n)-n＜log(1)+log(2)+...+log(n)＜(n+1)log(n+1)-n
(A)----------------------------------------------------
(1)の不等式∫[k-1..k]log(x)dx＜log(k)＜∫[k..k+1]log(x)dxをk=2からnまでと,k=1からnまで足し合わせます。
Σ[k=2..n]∫[k-1..k]log(x)dx＜Σ[k=1..n]log(k)＜Σ[k=1..n]∫[k..k+1]log(x)dx
∫[1..n]log(x)dx＜log(n!)＜∫[1..n+1]log(x)dx
log(x)の定積分を計算すると
[xlog(x)-x][1..n]＜log(n!)＜[xlog(x)-x][1..n+1]
nlog(n)-n+1＜log(n!)＜(n+1)log(n+1)-n
nlog(n)-n ＜log(n!)＜(n+1)log(n+1)-n
(B)---（A)を書けば以下は不要です---------------------------------------------
e^tは狭義の単調増加なのでtに上の各式を代入すると
e^{nlog(n)-n}＜e^log(n!)＜e^{(n+1)log(n+1)-n}
(n^n)e^(-n)＜n!＜{(n+1)^(n+1)}e^(-n)
No.33680 - 2015/10/19(Mon) 23:50:59
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Re: 数学?V
/ X
引用
>>ぽんさんへ
ごめんなさい。102でしたか。
101を間違えて解説していました。
No.33681 - 2015/10/20(Tue) 04:41:58
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Re: 数学?V
/ ぽん
引用
ありがとうございます！
理解できました
証明はいつも数式を変形して証明してたのでとても勉強になりました！
（B）は別解ということですか？？
No.33686 - 2015/10/20(Tue) 17:51:15
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Re: 数学?V
/ IT
引用
> （B）は別解ということですか？？
やってることは同じで 記述の順番が違うだけですから、「別解」というほどではないと思います。
No.33687 - 2015/10/20(Tue) 18:03:41
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Re: 数学?V
/ ぽん
引用
了解です！
最後に聞きたいのですが、（2）は数学的帰納法ではできませんかね？
最初数学的帰納法でやってみたんですけど途中で止まってしまいました…
（おそらく僕の計算や式変形の能力がないと思いますが…）
No.33700 - 2015/10/20(Tue) 23:20:23
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Re: 数学?V
/ IT
引用
左側の不等式を数学的帰納法で証明するなら
・n=1のときe^(-1)＜1なので (n^n)e^(-n)＜n! 成立
・ある自然数nについて (n^n)e^(-n)＜n!…(ア)を仮定する
(1)の左側の不等式の左辺∫[k-1,k]logxdx=klogk-(k-1)log(k-1)-1なので
klogk-(k-1)log(k-1)-1＜logk
e^xは狭義単調増加なので
e^{klogk-(k-1)log(k-1)-1}＜e^logk
(k^k){(k-1)^-(k-1)}e^(-1)＜k
k=n+1とすると {(n+1)^(n+1)}(n^-n)e^(-1)＜n+1…（イ）
(ア)(イ)の各辺は正なので、(ア)×(イ) {(n+1)^(n+1)}e^{-(n+1)}＜(n+1)!
・よって任意の自然数nについて (n^n)e^(-n)＜n!が成立
# ごちゃごちゃ書いてましたが、全面的にやり直しました。
No.33703 - 2015/10/21(Wed) 00:01:19
